426907369

12

Wykład 2

Uwagi:

1.    Szukanie rozwiązania równania różniczkowego powyższą metodą, przez definiowanie ciągu x_n nazywa się otwartym schematem Eulera. Metoda ta została już wspomniana w wykładzie 1.

2.    Każdy zbieżny podciąg ciągu x_n daje w granicy rozwiązanie problemu Cauchy’ego. Udowodnienie jedyności rozwiązania implikować więc będzie, że wszystkie zbieżne podciągi (a zatem także cały ciąg x_n) są zbieżne do x(t).

Twierdzenie 2.2 (Picarda-Lindelófa)

Jeśli, jak poprzednio, F: K —> R^m, gdzie K = [to, h + a] x {||z — x₀|| < 6} C R^m+l oraz sup^ ||F|| < M i F jest ciągła oraz ciągła w sensie Lipschitza w kierunku x ze stała L, tzn.:

V(i,,),((,,)£*■ II F(t,x) - f(i,»)|| < L ■ \\x - y\\,

to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie problemu Cauchy’ego na odcinku [to,to + Q'^,]> gdzie a' = min(a, jj, j) dla dowolnie ustalonej liczby 0 < r < 1.

Rysunek 2.2: Niejednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy’ego.

Przykład (Rysunek 2)

Rozważmy następujące równanie różniczkowe:

x = x⁰, 0 < fi < 1, x > 0.

Stosując metodę rozdzielania zmiennych otrzymujemy:

o ile x ^ 0, więc

1-/0'

C + t,

x(t) = (1 - 0)ć* (t - C)^