241(1)

Przez zamianę y na iloczyn dwóch pomocniczych funkcji y = iw, równanie liniowe sprowadza się do dwóch równań o zmiennych rozdzielonych względem każdej z funkcji pomocniczych.

Równanie Bemoulliego y'Ą-P{x)y — yⁿQ(x), różniące się od równania liniowego tym, że po jego prawej stronie występuje pewna potęga funkq'i y, rozwiązuje się podobnie jak równania liniowe. Przez podstawienie y = uv sprowadza się je także do dwóch równań o zmiennych rozdzielonych.

1084. Rozwiązać równania:

1) y' — jctg* = sin*    2) x?y²y'+xy³ = 1

3) ydx-(lx-{-\Ą-\ny)dy = 0, przy warunku yi—= 1

Rozwiązanie: 1) Stwierdziwszy, że dane równanie jest równaniem liniowym, podstawiamy y = uv\ wtedy y = uv+v'u i dane równanie przyjmuje postać

u'v+v'u—wwctg* = sin* albo u'v-\-u(v' ~v ctg*) = sin*

Ponieważ jedną z funkcji pomocniczych u lub v możemy obrać dowolnie, jaków weźmiemy dowolną z całek szczególnych równania

w'—w ctg* = 0

Wówczas u będzie określone równaniem

uv = sin*

Rozwiązując pierwsze z tych równań, znajdujemy v. W tym celu rozdzielamy zmienne i wyznaczamy najprostsze jego rozwiązanie szczególne, różne od zera

dv

v

= ctg xdx;

lnw In sin*;

v = sin*

Podstawiając znalezioną funkcję w(*) do drugiego z równań i rozwiązując je, wyznaczamy u jako całkę ogólną tego równania

u'sin* = sin*; du — dx; u = *+C Znając u i ©, znajdujemy szukaną funkcję y

y — uv = (*-fC)sin*

2) Dzieląc dane równanie obustronnie przez x²y², otrzymamy

= ^²

stwierdzamy, że jest to równanie liniowe, jeśli a: traktować jako funkcję y. Zastępując x iloczynem funkcji pomocniczych a: = uv, gdzie u i v są

funkcjami y, mamy — = v ~ -j-u~ oraz «y dy dy

du ,

v-j- + K dy

dv	3 «®	l+lny
dy	y	y
' dv	3 v \	1+ln y
i dy	~y)	y

Jest to równanie Bernoulliego, w którym P(x) = x~¹, Q(x) = x~² Zastępujemy tunkcję y iloczynem funkcji pomocniczych y — uv. Mamy

¹ =    \-V)^fn nrarr

y = u'vĄ-v'u oraz albo

1

,,,, UD

--= , , ,

x x²urv²

"'”+4'+y) = 3Sv

skąd, podobnie jak w poprzednim zadaniu, otrzymamy dwa równania o zmiennych rozdzielonych

iK+- = o

AT

²⁾“ AV

Rozwiązując pierwsze równanie, znajdujemy v jako najprostszą całkę szczególną tego równania

dv    dx

------= 0;

v    x

In®-f In a: = 0;    ®a:=1;    ® = —-

a:

Podstawiając z kolei® do drugiego równania i rozwiązując je, znajdujemy u jako całkę ogólną tego równania

U 1    -    11$    3 /~Q

x~~~tF’ ^u~^clu = xdx; — =    u — j/x^% - C

Szukaną całką ogólną danego równania będzie więc

^y-^m=vi+i?

3) Nadając równaniu postać

dx_    3x _ 1-flny

dy    y    y~~

dx

^a,bo -_dy+^pb)^x = Q(y)

albo

485