267

zania ogólnego otrzymać nieskończenie w i cle rozwiązań szczególnych danego równania. Na przykład:

u = x-2y-\-l; u = ,v^J+smy; u = l\...

W konkretnych zagadnieniach, sprowadzających się do równań fizyki matematycznej zawsze poszukuje się nie ogólnego, lecz szczególnego rozwiązania równania, przy\ czym rozwiązanie to powinno spełniać pewne określone warunki, nazywane warunkami brzegowymi (lub ogólniej granicznymi).

Przy rozwiązywaniu rów-nań fizyki matematycz: j zwykle stosuje się metodę Fouriera. Polega ona na tym, że najpierw szukamy rozwiązań szczególnych danego równania w postaci iloczynu funkcji, z których każda zależy od jednej tylko zmiennej, a następnie na podstawie warunków granicznych, danych w zadaniu, określa się wartości stałych dowolnych w'ystę-pująćych w tych rozwiązaniach szczególnych. W rezultacie poszukiwane rozwiązanie, spełniające dane równanie i dane warunki graniczne, ma albo postać szeregu, utworzonego ze znalezionych rozwiązań szczególnych, albo postać całki niewłaściwej o nieskończonych granicach całkowania. Dokładniej metodę tę wyjaśnimy przy rozwiązywaniu poniższych zadań.

1208. Znaleźć rozwiązanie szczególne u(x, t) równania różniczkowego ~ — a²    = 0, spełniające warunki graniczne:

1) «(0, r) = 0,    2) u(l, t) = 0,

3) u(x. 0) = <pi(x),    4) u,(x, 0) = ąi{x).

Rozwiązanie. Postępując w myśl metody Fouriera szukamy najpierw rozwiązań szczególnych danego równania w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których jedna zależy tylko od x, a druga tylko od t

u(x, t) = X(x) T(t)    (1)

Znajdując pochodne u'_x'_x = TX_xx, u,’, XT", i podstawiając je do danego równania, otrzymamy

XT"-a*TX" = 0 albo

X a^zT

W ostatniej równości zmienne są rozdzielone. Lewa strona równości nie zależy od t, a prawa nie zależy od .v, to zaś jest możliwe tylko w tym przypadku, gdy obie strony równości nie zależą ani od t, ani od x, czyli gdy

przedstawiają one jedną i tę samą stalą. Oznaczając tę stalą przez —/.² otrzymamy dwa równania różniczkowe zwyczajne

y" 4-=-ż^2	i	, - P
X		a^zT
X"+PX = 0	i	T"+Pa^2T= 0

Równania te, jako jednorodne równania o stałych współczynnikach (§ 7), mają rozwiązania

X = /Ccostar-j-Rsin/ta, T = Ccostrżf-j-Dsinaźr gdzie: A. B, C, D — dowolne stałe.

Otrzymane wyrażenia dla X i T podstawiamy teraz do równości (1) i otrzymujemy

u(x, t) =    cos ż x+-8sin ż x) (Ccos aż r+£> sin o / /)    (2)

Z kolei, biorąc pod uwagę dane warunki graniczne, wyznaczamy wartości stałych. Podstawiając do równości (2) wartości x = 0, u — 0 (pierwszy warunek) oraz x = l, u = 0 (drugi warunek) i upraszczając ją przez T(t) ąj 0, otrzymamy ‘

0 = /4cos0+i?sin0, 0 = /4cosż/-j-£sinz/

Z pierwszego równania znajdujemy ,4 = 0, a z drugiego sin// = 0 (bowiem B 0, gdy A — 0), skąd wynika, że dowolny parametr ż¹' powinien być równy ż = -y ; n = 1, 2, 3,...

Każdej wartości 1 (czyli każdemu ń) odpowiada rozwiązanie szczególne o postaci

u_n X _n T„ i (i_n cos

aimł , , . annt \ . nnx --|-p„sm—— jsm —

gdzie: a_n = B„C_K, = B„D_n są dowolnymi stałymi.

Ponieważ wyjściowe równanie jest liniowe i jednorodne, więc suma jego rozwiązań będzie też rozwiązaniem. Zatem i suma szeregu •

u(x, t ) =    ' u,

/!= I

-4-00    -f co

X¹    X¹

' u —-    ♦

n= 1

aimt , . . annt \ . mtx a„cos—₇--bp„sm —, jsm —j (3)

/

też jest rozwiązaniem danego równania, spełniającym warunki 1) i 2).

') Gdybyśmy w równaniach (a) zamiast — /■- wzięli Ż-, to otrzymalibyśmy X = Ae~^Xx-f-+Be^>x, a prz.y takiej postaci funkcji X warunki 1) i 2) byłoby spełnione tylko dla X = 0.

537