33

72 Przekształcenie Laplace’a

• Fakt 6.1.6 (warunek wystarczający istnienia transformaty)

Jeśli funkcja f(t) jest oryginałem o wykładniku wzrostu równym a, to jej transformata Laplacc’a F(s) jest określona dla s takich, że Res > n.

Uwaga. Każdy oryginał jest funkcją £-tran.sformowalną, ale nic na odwrót. Np. funkcja z Ćwiczenia 6.1.5 g) nie jest oryginałem, ale jej transformata F(s) — £ {/(<)} jest określona dla Res > 0.

Uwaga*. Można pokazać, iż dla danej funkcji f(l) istnieje a₀, gdzie -oo ^ a₀ $ oo,

OO

takie, że dla Res > a₀ całka Laplace’a j f(t)e~^3t jest zbieżna, a dla Res < a₀

o

całka ta jest rozbieżna. Na prostej x = cio całka ta może być zarówno zbieżna, jak i rozbieżna.

Rys. 6.1.2. Pólpłaszczna zbieżności całki Laplacea’a.

O Ćwiczenie* 6.1.7 Udowodnić Fakt 6.1.6.

O Ćwiczenie* 6.1.8

Podać przykład niezerowego oryginału, którego transformata Laplace’a jest określona dla wszystkich 16 C. Odpowiedź uzasadnić.

6.2 Własności przekształcenia Laplace’a

• Fakt 6.2.1 (liniowość przekształcenia)

Jeśli istnieją transformaty Laplacc’a funkcji f(t) i g(t) oraz a,b 6 C, to £ {a/(<) + bg(t)} = aC {/(*)} + bC {,(«)} .

O Ćwiczenie* 6.2.2

Uzasadnić powyższy fakt.

O Ćwiczenie 6.2.3

Wyznaczyć transformaty Laplace’a podanych funkcji: ajsinwi; b) coswi; c) sin²uit; d) churt.

Wskazówka. W obliczeniach wykorzystać transformatę funkcji e°‘, gdzie a 6 C.

•    Fakt 6.2.4 (zmiana skali)

Niech £ {/(<)} = F(.v) i niech a > 0. Wtedy

a \a/

O Ćwiczenie* 6.2.5

Uzasadnić powyższy fakt.

O Ćwiczenie 6.2.6

Sprawdzić prawdziwość powyższego wzoru dla funkcji z Ćwiczenia 6.2.3.

•    Fakt 6.2.7 (przesunięcie argumentów transformaty)

Niech £ {/(*)} = F(s) i niech a e C. Wtedy

£{e“‘/(<)} =F(s-a).

O Ćwiczenie* 6.2.8

Uzasadnić powyższy fakt.

O Ćwiczenie 6.2.9

Znaleźć transformaty Laplace’a podanych funkcji: a) e“‘cosu>t; b) e^otsinwt; c) e^Q,chwt; d) te⁵¹.

• Fakt 6.2.10 (przesunięcie argumentów oryginału)

Niech £ {’/(<)} = F(s) i niech <o > 0. Wtedy

£{/(f-<o)l(<-<o)} = e-*'"F(s).

O Ćwiczenie* 6.2.11

Uzasadnić powyższy fakt.

Ćwiczenie 6.2.12

Naszkicować podane oryginały i znaleźć ich transformaty:

a) /(<) = <j		dla	0 ^ t ^ 1,	b) m = |	t	dla 0$t<l,
	i °	poza tym;			0	poza tym;
1	[^0	dla	t < 0,	i	r ‘	dla 0 $ i ^ 1,
c) m =		dla	0 $ i ^ 2,	d) /(<) =	1 ^2	- t dla 1 < i $ 2,
	{ i	dla	t > 2;	1	l 0	poza tym.

Wskazówka. Podane funkcje zapisać (zaniedbując punkty nieciągłości) w postaci sum lub różnic funkcji postaci f (t — to) 1 (t — to) ■

O

O Ćwiczenie 6.2.13

Wyznaczyć transformaty Laplace’a podanych funkcji:

a) sin ^2< —    1 ^2t — j^; b) sin ^2t — y ^ 1 (t); c) sh (3t — 5) 1 (3i — 5).