55 3

0.3    1V1 oiiotomcziiosc i ekstrema funkcji

Okazuje się, że pochodną daje się wykorzystać do badania pewnych własności samej funkcji. Mamy mianowicie:

Twierdzenie 6.14 Załóżmy, że funkcja f : I —> R, gdzie I jest dowolnym przedziałem, jest funkcją różniczkowalną w I. Wówczas jeżeli /' (x) > 0 (odp. f (ar) < Oj dla x € I. to funkcja f jest rosnąca (odp. malejąca) w przedziale I.

Uwaga 6.15 Pamiętajmy, że w twierdzeniu powyższym istotne jest założenie, żefurikcja f jest określona i ma pochodną określonego znaku w przedziale, a nie w innym zbiorze nie będącym przedziałem. Bez tego założenia twierdzenie nie jest pmwdziwe. Ponadto przedział I jest dowolnym przedziałem, a więc właściwym lub niewłaściwym, otwartym, domkniętym lub jednostronnie donikniętym.

Uwaga 6.16 Okazuje się, że w Twierdzeniu\6.1j\ można trochę osłabić założenie dotyczące znaku pochodnej. Mianowicie, jeśli pochodna jest nieujemna w I, przy czym ma w tym przedziale co najwyżej skończoną ilość miejsc zerowych, to f jest funkcją rosnącą w I. Analogiczne osłabienie założeń działa w przypadku pochodnej niedodatniej i funkcji malejącej.

Przykład 6.17 a) Zbadamy monotoniczność funkcji f danej wzorem f (x) = Jf j. Dziedziną tej funkcji jest zbiór R. bo mianownik jest różny od zera dla dowolnej liczby x. Obliczymy pochodną

2 (x² + 1) — 2x ■ 2x 2-2x²    2 (1 - x²)

' ^X ~    (x² + lf ~ (x² + lf ~ (x² + lf '

Zbadamy znak pochodnej. Mianownik pochodnej jest dodatni, więc znak pochodnej jest taki sam, jak znak wyrażenia w liczniku

f (x) > 0 ■*=£• 1 — x~ > 0 •*=*• x £ (— 1; 1),

/' (x) < 0 <=$■ 1 — x² < 0 <*=*• x € (— oo; —1) U (1; oo) .

Zatem na mocy Twierdzenia \6.1j\ funkcja f jest rosnąca w przedziale (— 1; 1) omz malejąca w przedziałach (—oo; — 1) i (1: oo). Zauważmy, że liczby—1 i 1 są miejscami zerowymi pochodnej. Zatem zgodnie z UwagąfikTĄ możemy powiedzieć, że funkcja f jest rosnąca w przedziale {—1:1) oraz malejąca w przedziałach (—oo; — 1) i (1;oo).