6(12)

W podobny sposób, przekształcając równanie (2.2), otrzymujemy:

X - Au

*’* / - 0 ‘

a stąd:

a=.Vo + tv,    (2.12)

gdzie Ao oznacza położenie cząstki w chwili i — 0, a e_>r — średnią prędkość cząstki w przedziale od / — 0 do pewnej późniejszej chwili t.

Gdy prędkość zmienia się liniowo w czasie, jak w równaniu (2.11), prędkość średnia w pewnym przedziale czasu (powiedzmy od t = 0 do /) jest równa średniej arytmetycznej prędkości na początku tego przedziału (co) i na jego końcu (y). 'lak więc. w przedziale od / = 0 do późniejszej chwili t prędkość średnia wynosi:

= ś(ro 4- r).    (2.13)

Podstawiając do tego równania v ze wzoru (2.11). otrzymujemy:

tkr - t‘o 4- [at.    (2.14)

I wreszcie, wstawiając (2.14) do (2.12). mamy:

.v — .v« = tw + ł«r.    (2.15)

Jak w idać, dla / - 0 równanie powyższe daje a — .i(». co jest zgodne z naszym założeniom. Ponadto, różniczkując stronami równanie (2.15), otrzymujemy równanie (2.11), a zatem równania te są ze sobą zgodne. Na rysunku 2.Ma przedstawiono wykres zależności opisanej równaniem (2.15); zależność ta jest kwadratowa. u więc jej wykres jest zakrzywiony.

Równania (2.11) i (2.15) są to podstawowe równania ruchu :.e stałym przyspieszeniem: korzystając / nich. można rozwiązać każde zadanie z. lej książki, dotyczące takiego ruchu. Możemy również wyprowadzić inne równania, przydatne do rozwiązywania pewnych konkretnych rodzajów zadań. Zauważ najpierw, że w zadaniach na temat ruchu ze stałym przyspieszeniem możemy mieć do czynienia z pięcioma wielkościami: x — .v«. u,/. t/ i co. Zwykle jedna z tych wielkości nie występnie w zadaniu ani jaka dana. ani jako niewiadoma dane są trzy z pozostałych wielkości, a znaleźć należy czwartą.

Równania (2.11) i (2.15) zawierają właśnie po cztery z łych wielkości, w innych zestawach. W równaniu (2.11) me występuje przemieszczenie a - a*o, a w równaniu (2.15) — prędkość c. Z łych dwóch równań można otrzymać trzy inne. / których każdo nic zawiera innej ze wspomnianych pięciu wielkości. Po pierwsze, możemy / nich wyeliminować /. otrzymując:

v^: - 1*5 4- 2«(.v - Ao).    (2.16)

Równanie to jest przydatne, gdy nic znamy / i nie musimy tej wielkości wyznaczać. Natomiast z równań (2.11) i (2.15) możemy wyeliminować przyspieszenie a. uzyskując równanie nic zawierające o:

.r — .\q -- 5(1*1 4- v)r.    (2.17)

Wreszcie, eliminując i’p, otrzymujemy:

x — x_{] - vt - \ar.    (2.18)

Zwróć uwagę na różnicę między tym równaniem a równaniem (2.15): jedno z nich zawiera prędkość początkową i><>, a drugie — prędkość v w chwili r.

Ruch prostoliniowy

Numer równania	Równanie	,.n rakująca" w i c 1 kość
(2.11)	V - Lty -ł* (lt	A ~ A«,
(2.15)	v - Au -• r,i/ 4- 3<i#^2	V
(2.16)	v- = + 2«(.v - .v„)	t
(2.17)	v - An - 3liii + v)t	a
(2.18)	X - .V(, ~ I^1/ - L<lt^:	Ót

¹ Zanim /iisłmujcs/. równania / lej uiMi upewnij się. że zadanie, klńce rxv>i.*|/n. jesz. duiyc/y istotnie mchu /<• stałym pr/yspics/rmcm.

W tabeli 2.1 podano podstawowe równania mebli ze stałym przyspieszeniem, t/.n. równania (2.11) i (2.15), oraz wyprowadzone przed chwilą równania dla przypadków szczególnych. Proste zadania, dotyczące ruchu ze stałym przy-*• bliżcnicm będziesz mógł zwykle rozwią/nć. wybierając właściwo równanie / tej tabeli (oczywiście, o ile będziesz ją miał pod ręką). Należy wybrać lo równa-nie. które zawiera trzy wielkości dane w zadaniu oraz wielkość, którą trzeba wyznaczyć. Można też pamiętać tylko równania (2.11) i (2.15) i rozwiązywać jc łącznie, jako układ równań. Taką właśnie metodę rozwiązywania zastosujemy w przykładzie 2.5.

/SPRAWDz.1,MN    Niżej ptKlnno równania opisujące zależność położenia c/asiki od j

cza.su, dla czterech przypadków: I > .\ = 5/ -4; 2) .v =    5/' -t- 4r ą-6; 5) v = 2/;- - 4/7:

4).v — 5r - ?. W którym z. tych przypadków można skorzystać / równań zamieszczonych w tabeli 2.1?

(22.22 m/s)' • <27 78 m/s)

2(88 i«r

2t.V - An)

Przykład 2.5

Jadąc swoim Porsohem z prędkością KIO km/h. spostrzegasz radiowóz. policyjny. Naciskasz na hamulce r zmniejszasz prędkość <\<) NU km/h na drodze SN ni. hamując ze stałym przyspieszeniom.

a) Ile wynosi to przyspieszenie?

ROZWIĄZANIE:

Przyjmijmy, że nich zachodzi w dodatnim kierunku osi a. Dla prostoty załóżmy, że jwczątek hamowania następuje w chwili i -- 0. gdy położenie samochodu jest .v„. O—w Skoro przyspieszenie jest stale, to jest ono z\\ ią/.anc z prędkością i przemieszczeniem samochodu za pośrednictwem podstawowych równań ruchu ze stałym przyspieszeniem, tzn. równań (2.1)) i (2.15). Prędkość początkowa jest równa i\, = 100 km/h = 27.78 m/s. przemieszczenie x - ,V(i — XK ul. a prędkość po przebyciu tej drogi wynosi i* = 80 km/h -- 22.22 m/s. Nic znamy przyspieszenia a i czasu hamowania /. które występują w tych równaniach. Musimy więc rozwiązać jc łącznic, jako układ równań.

Aby wyeliminować niewiadomą r. przekształcamy równanie (2.11) do postaci:

, =    ,2.19,

a

a następnie podstawiamy lo wyrażenie do wzoru (2 15). co daje: ( v - i^#u \ I / v - r.» \

Rozwiązując to równanie względem a i podstawiając wartość liczbowe danych, otrzymujemy:

— 1.58 m/s' (odpowiedź.

Zauważ. że w celu wyznac/cnia a mogliśmy również skorzy si to z równania i2.I6>. które nic zawiera zmiennej /

b) Jak długo trwało hamowanie? ROZWIĄZANIE:

Mając już a. wyznaczamy / / równania (2.10):

_{/ =} ^S = 02.22 n.Ąj - (27_;78mĄl ₌ ^ _{s %} , ,, _s u    (— 1.58 m/s*)

(odpowiedź)

Widać, żc jeśli jedziesz z. nadmierną prędkością i starasz się, szyhko wyhamować do prędkości dozwolonej, (o policjant ma noi ogól dostatecznie dużo czasu, aby zmierzyć twoją prędkość.

2.6. Woźny przypadek szczególny: roch zc stałym przyspieszeniem 75