6 (24)

gdy funkcje/, i/₂ są

akcji f odwzorowują-j wać definicję 5.1 dla ictem przestrzeni R^k, trzeni. Innymi słowy,

L10,to

ada z funkcji/,,...,f_k ]

pczy twierdzenia 5.31

Hospitala, sytuacja I twierdzenia nie są

i wykładniczej e'\ k

tf(x) — x oraz

97

Różniczkowanie funkcji o wartościach wektorowych

tak, że
|P8)	kr'(x)i > L--!-! >1 j X[ X
i wobec tego
(39)	toi ^1 < * l?w| \m^ą2-x
i dlatego
(40) '	Hm^M “ 0- *~og’(x)

Porównując (40) z (36), widzimy, że reguła 1’Hospitala nie jest w tym przypadku prawdziwa. Zauważmy jeszcze, że na mocy (38) g'(x) *4 0 na (0,1).

Istnieje jednak pewien wniosek z twierdzenia o wartości średniej, który w zastosowaniach jest tak samo użyteczny jak twierdzenie 5.10 i który pozostaje prawdziwy także w przypadku funkcji wektorowych: z twierdzenia 5.10 wynika, że

lf(b)-f(a)\ < (b-a) sup |/'(x)|.

a<x<b

5.19. Twierdzenie. Niech / będzie ciągłym odwzorowaniem (a, by w i?*, które jest różniczkowalne w (a, b). Istnieje punkt x e (a, b) taki, że

if(b)-m < (b-a)lf'(x)l.

¹ Dowód (*). Niech z =f(b)—f(a) i określmy

ę(t) - z-/(t) (a < t < h).

Wtedy jest ciągłą na <a, b} funkcją o wartościach rzeczywistych, która jest różniczkowalna

na (a, b). Twierdzenie o wartości średniej pokazuje wtedy, że dla pewnego xe(a,b)

ę{b)- y(fl)« (b-a) q>'(x) - (b-a)z-f(x).

Z drugiej strony <p(b)- <p(a) m z'f(b)-z-f(a) - z-z = |z|².

Na podstawie nierówności Schwarza dostajemy teraz

\z\² - (b-a)\z-f'(x)\ < (ó-fl)|z|/'(x)|.

Wobec tego |z| < (ó-a)|/'(x)|, co jest żądaną konkluzją.

O Dowód ten pochodzi od V. P. Hawina, tłumacza drugiego angielskiego wydania tej książki na język rosyjski, który dołączył go do oryginalnego dowodu.

l - Podstawy analizy matematycznej