8 (23)

149

Szeregi potęgowe

(I2K ^    .    Z KI ~ ^bi (' =* 1>²» 3. « )

n hjpht&s.' u ii iifiki a i niech szereg Z^i będzie zbieżny, wtedy

(B)    zi^a«*z£^fl.v

~ ■ • - *

Dowód. Moglibyśmy udowodnić równość (13) bezpośrednio, w sposób podobny do tego, jakiego użyliśmy przy dowodzie twierdzenia 3.55, chociaż w naszym obecnym przypadku byłoby to nieco trudniejsze. Wydaje nam się jednak, że podany niżej sposób jest bardziej interesujący.

Niech E będzie zbiorem przeliczalnym składającym się z różnych punktów x₀, x_lt x^~, i niech x_B-»x₀ przy «-»«>• Określmy

(14)    f,(x o)= foy (i= 1,2,3,.4 *

j=i

m    Mx„)=    .(i,«= 1,2,3,...),

(16)    %Wi (x% E).

j /t i

Porównując (14) i (15) z warunkiem (12), widzimy, że każda z. funkcji / jest ciągła w punkcie x₀. Ponieważ |/(x)| < b, przy xmE, szereg (16) jest zbieżny jednostajnie na E, więc funkcja g jest ciągła w punkcie x₀ (twierdzenie 7.11). Wobec tego

Z Z ^aU =    m    -.fan #K) = Im £/i(x„) =

(=1 j~-1    J- l    , »**»    nop _f= j . ,

= lim Z Z .V* ^,Jm Z' Z«U“ Z ŻV

n-coi = lj=i    j-sa.1 <«1    ;=li=l

8.4. TWIERDZENIE. Niech szereg Z c„xⁿ będzie zbieżny dla |x| «c R i niech f(x) oznacza n = o

sumę tego szeregu na przedziale (~R,R). Jeżeli—R <a < R, to funkcję/można rozwinąć w punkcie x « a w szereg potęgowy, feóry łest zbieżny    < R—\d\, przy czym

(11). . (tmrnm Mn X^r^{(x_ar < R_|al)}-

n* 0

Twierdzenie to jest uogólnieniem twierdzenia 5.15; jest ono także znane jako twierdzenie Taylora.

Dowód. Mamy

w“    i satósse -