8 (27)

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

153

a)    Funkcja e^x jest ciągła i różniczkowalna w dowolnym punkcie rzeczywistym',

b)    (e*)' = e*;

c)    e* jest funkcją ściśle rosnącą i e^x > 0;

d)    e^x+y = cV;

e)    e^x~* + co przy x~* + oo, e*-»0 przy x-> — oo; ¹

f)    lim x"e~^x = Odia dowolnego n.

x-» + cn

Udowodniliśmy już twierdzenia a)-e); z (25) wynika, że

„n+ 1

e >

przyx > 0, zatem

skąd wynika f). Twierdzenie 0 oznacza, że e^x dąży do +oo przy x-* + oo „szybciej” niż dowolna potęga zmiennej x.

Funkcja E, jako ściśle rosnąca i różniczkowalna, ma funkcję odwrotną L, która także jest ściśle rosnąca i różniczkowalna. Jej obszarem określoności jest zbiór E(R¹), tj. zbiór wszystkich liczb dodatnich. Funkcja Lokreślona jest równością

(36)

lub równością

(37)

E{Uy)) = y (y > 0)

L(E(x)) = x (x - liczba rzeczywista).

Różniczkując (37), otrzymujemy (por. twierdzenie 5.5) L (£(x))£(x) = 1; pisząc y zamiast £(x) mamy

(38)

IHy) = - (y > 0).

y i

Podstawiając w (37) x = 0, widzimy, że L(l) = 0. Zatem z (38) wynika, że

(39)

Uy)

Równość (39) jest często przyjmowana jako punkt wyjścia przy rozwijaniu teorii logaryt-mu i funkcji wykładniczej. Pisząc u — E(x), v = E(y), otrzymujemy ze Wzoru (26)

L(uv) = L{E(x)E(y)) = L(£(x+y)) = x+y,

zatem

(40)    L(uv) - Ł(u)+L(v) (u > 0, v > 0).

Znaczy to, że funkcja L ma znaną własność funkcji logarytmicznej, tak przydatną przy różnych obliczeniach. Zwykłym oznaczeniem funkcji L(x) jest oczywiście logx.