931171593311489959714236572 n

92    III. Równania

Podstaw iane y-S*. kolejno otrzymujemy

y_mr/M_{t y}"m _rV^x, r²-8r+I6=0.    r,=r₂=4,

^    y₀=»e**(Ci +C₂x).

Z kolei y* -x³^'0’-2. ponieważ liczba k = 4 jest podwójnym pierwiastkiem rówr^

charakterystycznego), skąd

y--2Xe^4sr(x+2x^J),    y*""2/4e⁴*(8x²+8x +1),

^M,cm '

zatem

a) i » dla których potrafimy przewidzieć całki iSegóJnć 'zastosujemy oz mień mania stałych (por. 14.2). Należy zatem

(«)

względem niewiadomy funkcji i Cfa). Mamy

I ⁰

c\(_X)J^fl2C\_a

je* fJ.i    sine',

^: 2e^l*|

skąd

(fj)

przy czy ni całki

y* =ax‘+bx

czyli

,łki _v* i y* znajdujemy za pomocą metody przewidywania. Mamy * =ax¹+bx+e, skąd yV=2ax+b, y\"-2a.    >•?"'» 0.

4«-2ax-b-2oxⁱ-2bx-2c*x'.

samych potęgach, otrzymujemy 0--3. *-5

•    t V* I ty —

ł**"5^{X +}:^{X 4}

• « ->* y₂-jó^f •

A więc poszukiwana całka

„ia różniczko** zwyczajne wyżach rzędów

24e**(8x²+8x +1) -164i^,4x(x+2x^J) +164 xV^x = 3e⁴ czyli /f=|. Całka ogólna równania (c) przyjmuje więc postać y-|«^4x(3x^!+2C₂x+2C,).

d) Pierwiastkami równania charakterystycznego są liczby r_]2    - 1 +2i, skąd

y₀*=e"^x(C_łoos2x+C_Jsin2x).

Całkę szczególną y* znajdujemy metodą przewidywania; otóż y* “xc"^x(4 cos 2x + Bsin 2x)

(p~ I. ponieważ k- -1 i b=2, por. fl), a więc liczby -1+2* są pierwiastkami równari: charakterystycznego); stąd

/’ -e^_,[(4 - Ax+2 Bx) cos 2x+(B - Bx - 2Ax) sin 2x], y*"«eV[( - 24 + 4B - 34 x - 4Bx)cos 2x+(-44 - 2B+44 x - 3Bx) sin 2x],

4B cos 2x - 44 sin 2x = cos 2x,

czyli 4 = 0, B=£. A więc całka ogólna rozwiązywanego równania przyjmuje postać y *= 5«~^X(X sin 2x+4C, cos 2x+4C₂ sin 2x). c) Podstawiamy y-/*; stąd równanie charakterystyczne:

r^J-3r+2=0,

zatem r_t = 1, r,=2, czyli

>’o = C₁e^x+C,e^Sx.

?! «»*» '«*• podanych w ^

C'r(x)e^x+Ci(x)e^3x-0, ¹

G»(x) e*+2Cj(x)«^ax=sm e^-x

C|(x)- J(-c~^x)sine'*dx = -cose‘^x,

C₂(x)= j e“^J*sin<~^x(łx»e”*cose^-*-iin«^-*,

^P™ ^S,f^łC P^rz>*^]*^m> "P- równe zeru, ponieważ chodzi nam o całki szczególne. Ostatecznie całka ogólna rozwiązywanego równania przyjmuje postać

>’=Cj c^l+C₂ <^}x+c'(-oose'^,)+e^:'(e^-xcosf'^,-sine"^x) lub po uproszczeniu

y=C₁«r*+C_Jc^łx-e^łxsine^-x.

0 Z przykładu 143 d otrzymujemy

y₀=C,e‘+C_:e‘*+C,e'^J*.

Całka szczególna y* będzie sumą całek szczególnych y* i y* równań (f,)    y"'+2y"—y' - 2y - x^s,

y"'+2y"-y'-2y=2c^łx.

Przyrównując współczynniki przy *>ch

i c= —

Zatem

Podobnie znajdujemy, ic

ałka ogólna y-C.^ + Cz'"*^