Matematyka 2 )7

296 IV Równania rńinu-zkjjwe zv>yeznjnc

Po podstawieniu y_it y^. y" dorównania (I) otrzymujemy 6Ax + 2B-6Ax² -4Bx-2C a 2x-6x*, skąd wynika, że A = I, B= I, C= 1. Zatem

y_t = x' + x² + x. x€R, jest rozwiązaniem szczególnym równania (1), a

O) y = y₀ + y, =C,+C₂e^:'+x³ + x*+x, x€R_łC_l,C₂€R,

jest rozwiązaniem ogólnym tego równania.

Wyznaczymy teraz rozwiązanie szczególne spełniające warunki y(0) = 0. y'(0) = -l. Z (3) otrzymamy

(4)    y’ = 2C₂c^2ł -i- 3x² -t- 2x + 1.

Uwzględniając warunki początkowe w (3) i (4) mamy

y(0)=C, + C, = 0,    y'(0) = 2C₃ +1 = -I,

a stąd C, = I, C₂ =-l. Szukane rozwiązanie szczególne określone jest wzorem

y = l-e²* + x³ + x^: + x_ł X €R.    ■

PRZYKŁAD 6.10. Rozwiążemy równanie

(1)    y* + y = x^:-4sinx.

Rozwiązujemy równanie jednorodne

(2)    y" -t- y = 0.

Ponieważ równanie charakterystyczne

r² +1 = 0

ma dwa pierwiastki zespolone r = ±i, w-ięc rozwiązanie ogólne równania (2) określone jest w-zorem

y₀ = C,cosx + C₂sinx, xeR, C,,C₂ e R.

Rozwiązanie szczególne równania (1) wyznaczmy jako sumę rozw iązań szczególnych równań

(3)    y" + y = x² i    (4) y” + y = -4sinx.

Rozwiązanie szczególne równania (3) przewidujemy w postaci

y,(x) = Ax^: + Bx+C.

Obliczamy: y\ - 2Ax + B, yj'= 2A, podstawiamy do (3) i otrzymujemy

2A + Ax^: + Bx + Chx³.

Stąd wynika, żc A = l, B = 0. C = -2. Tak więc, y,(x) = x^: - 2. Rozwiązanie równania (4) przewidujemy w postaci

y₂ (x) = x( A cosx -t- Bsin x)

(r = i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego). Wtedy y;»(A 4-Bx)cosx-K B-Ax)sin x,    /₂'=(2 B - Ax)cosx+ (-2 A -Bx)sin x

Po podstawieniu do (4) i uporządkowaniu otrzymujemy

2Bcosx -2Asinx s —4sinx.

skądA = 2. B-0. Zatem y₂(x) = 2xcosx. Z twierdzenia 6.6 wynika, że y, = y.OO + y₂(x) = x²-2 + 2xcosx, xeR,

jest rozwiązaniem szczególnym równaniu (1).

Rozwiązanie ogólne równania (I) określa wzór y = y₀ + y,.

czyli

y = C,cosx+C₂sinx +x²-2+ 2xcosx, x€R. C,,C₂eR.B ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1.    Znaleźć rozwiązanie ogólne równania wiedząc, żc y = y,(x) jest jego rozwiązaniem szczególnym:

a) y"+7y'--Ty=⁰'^x>°; y.<*)=4.

X x    ^x

^b) y"-rⁱTy^,*_T-^ITy=⁰; *(*) = *.

I + X^ l + x*

c)    y"+-y^,-4-y = 0. x>0; y,(x) = x^:.

x x

2.    Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

y»_!y' + _Ly ₌!    * > 0,

* X^J x‘ x