995663S092534028980615635200 n

4?. 06. A

1. Liczby zespolone:

• Aksjomatyka ciała, przykłady ciał.

• Definicja liczb zespolonych, sprawdzenie aksjomatów ciała (np. łączność mnożenia).

• Sprzężenie i moduł liczby zespolonej, definicje i własności.

• Postać trygonometryczna liczby zespolonej (do czego się przydaje? Wzór de Moivrc’a).

• Co to jest płaszczyzna Gaussa? Interpretacja geometryczna dodawania i mnożenia liczb zespolonych.

• Pierwiastki z jedynki, ogólniej problem pierwiastkowania liczb zespolonych.

• Treść zasadniczego twierdzenia algebry.

2. Macierze i wyznaczniki.

• Dla jakich macierzy A, B ma sens suma A + B lub

• Co to jest M_nxn(K) i czy jest to ciało? Odpowiedź uzasadnić.

• Definicja aksjoniatyczna wyznacznika.

• Wzór sumacyjny na wyznacznik macierzy.

• Twierdzenie Cauchy’cgo (z dowodem).

• Wzór Laplacc’a (z dowodem).

• Co to jest układ Cramcra i jaką postać ma zbiór jego rozwiązań ?

• Wyznacznik Vandermondc’a, definicja i wzór.

• Wzór na macierz odwrotną, (pojawiło się na wykładzie w części o przekształceniach liniowych)

3. Przestrzenie liniowe:

• Aksjomatyka przestrzeni liniowej, przykłady.

• Definicja podprzestrzeni liniowej, związki z rozwiązaniami jednorodnych układów liniowych.

• Co to jest kombinacja liniowa wektorów, zbiór generatorów, układ liniowo (nic)zależny, baza liniowa? Związki między tymi pojęciami.

• Czy dla danej przestrzeni liniowej istnieje baza liniowa? Czy jest ona jedyna?

f • Określenie wymiaru przestrzeni liniowej (w tym Tw.

' Steinitza wraz z dowodem).

• Przykład przestrzeni liniowej nieskończenie wymiarowej.

• Związek między wymiarami podprzestrzeni U, W, U +

• Pojęcie sumy prostej przestrzeni liniowych.

4. Przekształcenia liniowe:

• Definicja odwzorowania liniowego.

• Związki między odwzorowaniami liniowymi oraz macierzami. (dodatkowo: co odpowiada złożeniu odwzorowań liniowych?)

• Związki między wymiarami przestrzeni V, Ker(F), Im(F) dla odwzorowania liniowego F : V —» W (wraz z dowodem).