CAM00132

2 0«rty układ równań rozwiąż metodą eliminacji Gausas*Jordana.

W zwykłej metodzie Gaussa macierz układu sprowadzamy do takiej macierzy, w której pod przekątną są wyłącznie zera W metodzie Gaussa-Jordana dochodzimy do macierzy, w której zera są także nad przekątną, a na przekątnej są jedynki (dopóki to możliwe)

X. (tony układ równań rozwiąż metodą eliminacji Gaussa»Seldela.

*, +Ą = S

I / | — J 2 + *ł\t — 1

-1*1 *+* i.#*J + 5j*;| = 2

W pierwszym i drugim równaniu wyrazy dominujące i *•* I) leżą poza główną przekątną. Po zamianie kotejnośd tych równań otrzymujemy układ, w którym wartości dominujące leżą na głównej przekątnej:

4.1* | — Sr -f Są = 4 s j HH 6.1*2 + .i*.* — 9 -Ji + '2.1-2 + ó.r_{ = 2

Układ ten spełnia warunek zbieżności metody (macierz układu jest dominująca przekątniowo). Układ zapisujemy w postaci równań na wyrazy dominujące:

i

*\ m -w 4- ą -l s> = H9 — .i i -	1 Są) - .r{ )
- Y Są = -(2 -f ./'i -	- 2.r2)
Dokonujemy wyboru ("zgadujemy") wartości x2 i m np. x2 = 0 i x3 = 0. Następnie podstawiamy te wartości do równania na xi, uzyskując początkową wartość xi. Tak uzyskaną wartość podstawiamy do równania na x2, uzyskując nowe przybliżenie tej niewiadomej. Iteracje kontynuujemy do osiągnięcia określonej dokładności względnej Dla x2 = 0 i x3 = 0 powyższa procedura daje następujące wyniki (dwie pełne iteracje):
	o) = i
1§§§ ,»;{ = -(2 + 1 \1	(1) = 1/3 ss i	333
	2 x 4/3)= 1/	15 sr 0.0GG7
■r, = jU+4/3	-4/15) 4 79y	/Ijl) ^ 1.317
•l i i ~(9 -79/< (l	|| 1/15)=	157/3G0^ I.2G!)
1L fe .r, = r(2 + 79 <	11 | x 157/:	5(i()) = 7/15 ^ 0.155(1
5 Dokładne rozwiązanie: ^1Są m lIB B !	1 = 23/ 1S % : :i. 15us	I.27S M = 53/42 te 1.2G2 i ■

4. Wyjaśnij koncepcją rozkładów LU i ich związek z metodą eliminacji Gaussa.

Rozkład LU to przedstawienie macierzy A w postaci A=U*L gdzie L to dolna macierz trójkątna z jedynkami na przekątnej, a U to górna macierz trójkątna. Układ równań A*x=b można zastąpić równoważnymi układami L*y=b i U*x=y. Algorytm eliminacji Gaussa z pamięcią kolejnych mnożników to rozkład LU Doo!ittle’a.