Capture037

ratwlu 4.1. Obbc/jmr irrdnłcj t nuklidu wyników te*tu

ratwlu 4.1. Obbc/jmr irrdnłcj t nuklidu wyników te*tu

1		*	-<_
Prmlrul klasowy	Środek przedziału •V,	Licjocbnott fi	Ijc/dmott ■ uodek przedziału _M._
45-49	47	t	r
W-44	42	2	X4
35-59	37	3	III
30-34	32	ó	192
25-29	27	s	216
20-24	22	17	374
15— 1*4	17	26	442
10-14	12	II	132
5-9	7	2	14
0-4	i *	0	n
Razem		76	16I2_
If,V.*!612	.V=™= 21.21 76

4.4. Odchylenie od średniej

W opracowaniach statystycznych często wykorzystuje się różnicę między pewny konkretnym wynikiem X, a brednia. Różnicę taką nazywa się odchyleniem od <rc niej. Przedstawia ja poniższe wyraźcnio i

/ x_i=X_i-X. ^

W wyrażeniu tym .it, — pisane małymi literami — oznacza odchylenie od średni.

Podobnie y oznacza"odchylenie od średniej T. Pomiary albo^-wyniki'w posL. oryginalnej, oznaczane X lub Y. nazywa się czasami wynikami surowymi Pomiary lir wyniki wyrażone w postaci odchylenia od 6vdniej.~óźnaczanc x~7uB~y. nazywa m, odchyleniami Użycie odchyleń wiąże się /e zmianą pierwotnej postaci wyników Średnia wyników surowych równa jest S lub F. Średnia odchyleń równa jest 0.

4.5. Niektóre cechy średniej arytmetycznej

Średnia arytmetyczna ma szereg ciekawych i użytecznych cech. Pierwsza / nich jest bardzo prosta. Sunta ttJi hylrń wszystkich pomiarów w zbiorze od u h srt dnn urylU^eznei jr.\t równa 0. Średnia arytmetyczna"pomiarów 7. 13. 22. 9. II i 4 równa jest II Odchylenia tych pomiarów od ich średniej są następujące: -4. 2. 11. -2, 0 i -7, Suma tych odchyleń równa jest 0. A oto dowód:

(4.4)

Ptmicwj/. ,V (X X J IN, >1*1 X X -- NX ,V.k_M« dodana do „cha X. ca>

średniej, jest tym samym, co poronienie X pr,c, N. zatem jeżeli * jcm równe 11 a iV jest iWnc 6. stwierdzamy, 2cl1«-1l»ll4ll+l! *11*6*11

W wielu sytuacjach w statystyce wykorzystuje się kwadrat odchylenia od .średniej, czyli operuje się wielkościami w rodzaju (X. - Xy Druga użyteczna

cecha średniej dotyczy sumy kwadratów odchyleń od średniej, czyli wielkości N

Suma kwadratu* odchyleń od irnimrj arytmetycrjiejje st mmepzp m:

• i

mwui kwiuhmów ihIi h\leń od dowolnej innej warto cl Odchylenia pomiarów 7TBT22. 9. Tl. 4 od średniej II wynoszą -4. 1 ||. -2. 0. -7 Kwadraty tych odchyleń równe su 16. 4. 121. 4. 0. 49. Suma kwadratów równa jest 194 Gdyby wybrać jakaś inn.i liczbę zamiast średniej, suma kwadratów odchyleń od mej by* łaby większa niż suma kwadratóss odchyleń od średniej Wybierzmy jAą> r.ną liczbę, na przykład 13. Odchylenia pomiarów od lej liczby \ą następujące. -6. 0.

9. 4. 2. -9. Po podniesieniu ich do kwadratu otrzymujemy 36. 0. 81. 16. 4. 81 Suma tych kwadratów równa jest 218. jest ona zatem większa mz suma kwadratów odchyleń od średniej. Przeprowadzenie próby z jakakolwiek mną liczby da taki am rezultat.

Ta cecha średniej pokazuje, że stanowi ona centrum, środek ciężkości zbioru pomiarów Istotnie, średnia fest wartością centralną, od ktorci suma odchyleń jest aajmnie^s./a. Można to z łatwością wykazać Rozpatrzmy odchylenia odTpewnej liczby X <. gdzie c * 0. Odchylenie pomiaru odlej liczby 15wnc j<-

X, - (.? + c) = (X, - X) - c.    (4 5)

Po podniesieniu do kwadratu » zsumowaniu .V pomiarów otrzymujemy

X |X, - (X + c)l“ = X (X, - X)^: + I «■* - 2cX    ~ *k <4.6)

**t

Ponieważ suma ochyleń od średniej równa jest 0. trzeci człon po prawej stronie równy jest 0. Podobnie N-krotne zsumowanie c² daje Ne², co zapisujemy

X IX, -(X + r)|² = t (X, - X)¹ * Ne².    (4.7)

f=i

Z wyrażenia lego wynika, ze sumę kwadratów odchyleń od liczby A ♦ i można traktować jako złożoną z dwóch części, mianowicie sumy kwadratów odchyleń od średniej X \ Ne². Wielkość Ne² jest zawsze dodatnia, stąd suma kwadratów odchyleń od liczby X ♦ c zawsze będzie większa niz suma kwadratów odchyleń od X. A zatem suma kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej jest mniejsza ni/ suma kwadratów odchyleń od jakiejkolwiek innej wartości

73