CCF20090120047

powinien się zastanowić, jaka ilość kratek w jednym rządku będzie najdogodniejsza. Na przykład, jeśli rozwiązując pierwsze zadanie weźmiemy rządki liczące po 9 kratek (jak na rycinie), problem stanie się zupełnie jasny.

1. Albert Smith i jego żona, Betty, są oboje w armii. Albert ma wolny co dziewiąty wieczór; jego żona zaś ma wolny co szósty wieczór. Dziś właśnie przypada wolny wieczór Alberta; jutro Betty będzie miała wolny wieczór. Za ile dni (jeśli w ogóle kiedykolwiek!) zdarzy się, że wolny wieczór mieć będą oboje równocześnie?

A	B						B
A				B
A	B						B
A				B
A	B	-					B
A				B

Na rycinie każdy kwadracik odpowiada jednemu wieczorowi. Kwadrat oznaczamy literą A, jeśli jest to wolny wieczór Alberta, literą B zaś, jeśli to Betty ma wolny wieczór. Łatwo zauważyć, że B występuje tylko w drugiej, piątej lub ósmej kolumnie, nigdy natomiast w kolumnie pierwszej, w której występuje zawsze A. Odpowiedź więc brzmi: Betty i Albert nigdy nie mogą mieć równocześnie wolnego wieczoru.’

2.    Czy odpowiedź na zadanie 1 byłaby inna, gdyby Betty miała co piąty wieczór wolny, a nie co szósty?

3.    Alf, Bill, Charlie, Dave i Edward należą do ochotniczych brygad przeciwpożarowych. Każdy z nich rozpoczyna swe dyżury tego samego dnia, w piątek. Alf dyżuruje co trzecią noc, Bill co czwartą, Charlie ma dyżur co piątą noc, Dave — co szóstą, wreszcie Edward — co siódmą.

Ile dni upłynie do czasu gdy znów równocześnie dyżurować będą:

a)    Alf i Bill?

b)    Alf i Charlie?

c)    Bill i Charlie?

Ozy może się wydarzyć sytuacja, gdy równocześnie dyżurować będą Alf i Charlie, a nie będzie to noc dyżuru Davy’ego?

W piątki, jeśli nie mają dyżuru, panowie ci spotykają się w klubie. Jak często musi Alf opuścić wieczór klubowy? Jak często nie bywają w klubie pozostali panowie? Czy istnieje taki dzień w tygodniu, na który Alf mógłby się stale umawiać? Czy też może jego dyżur wcześniej czy później przypaść musi na każdy z dni tygodnia? Jak pod tym względem wygląda sytuacja jego pozostałych kolegów? (Zrób rysunek na kratkowanym papierze zakreślając po 7 kratek w każdym rządku, tak by wszystkie niedziele znalazły się w jednej kolumnie.)

4.    Czy możesz wykryć, według jakiej prawidłowości kształtują się odpowiedzi na zadanie 3? Czy potrafisz odpowiedzieć na pytanie, za ile dni Alf, Bill, Charlie, Dave i Edward znów równocześnie będą mieli dyżur? Jaki to będzie dzień tygodnia?

5.    Dwaj mężczyźni idą stale ramię przy ramieniu. Ale na każde cztery kroki pierwszego z nich przypadają trzy kroki drugiego. Obaj ruszają z miejsca równocześnie. W jakiej kolejności słychać będzie ich kroki? (Narysuj odcinek prostej wyobrażający czas. Oznacz na nim momenty, w których nogi obu mężczyzn uderzają o bruk.)

6.    Do zadania 5 można wprowadzić dowolne warianty: 5 kroków pierwszego może odpowiadać 4 krokom drugiego, 7 kroków może odpowiadać 5 itd. Zilustruj to rysunkiem.

7.    Należy zrdbić pudło, w którym powinny się mieścić dokładnie albo paczki długości 15 cm, albo paczki długości 20 cm. Paczki mają być układane tak, by przytykały do siebie. Jaka może być najmniejsza długość tego pudła?

B. Dwa zagadnienia dotyczące ogólnych reguł

Matematyk po rozwiązaniu jakiegoś zadania zazwyczaj nie zapomina o nim natychmiast. Zaczyna zmieniać dane zadania, sprawdzając czy i wówczas może je rozwiązać. Chce się upewnić, że potrafi rozwiązać wszelkie zadania tego rodzaju. Chce stwierdzić, czy nie ma jakiejś prostej reguły dotyczącej takich zadań. Przytoczone tu dwa zagadnienia ukazują sposób postępowania matematyka.

Problem eliminacji. W rozgrywkach eliminacyjnych bierze udział 7 zespołów. Ile należy rozegrać spotkań? (Zakładamy, że nie ma losowania ani repa-saży.)

W pierwszej turze jeden zespół >nie bierze udziału; odbędą się 3 spotkania. Do drugiej tury, półfinałów, wejdą 4 zespoły. W półfinałach będą 2 spotkania;

97

7 Ma Lem. nauką przyj.