CCF20090120048

w finale odbędzie się jedno. Razem zatem spotkań będzie 3+2+1, czyli 6.

Na to konkretne pytanie odpowiedzieć było łatwo. Ale przypuśćmy, że zamiast 7 udział bierze 70 lub 700 zespołów. Ile spotkań trzeba będzie wtedy rozegrać? Obliczenie tego zajęłoby bardzo dużo czasu. Dobrze byłoby, gdybyśmy potrafili znaleźć jakąś prostą regułę, która oszczędziłaby nam liczenia spotkań dla każdej tury z osobna.

W celu sprawdzenia, czy taka prosta reguła w ogóle istnieje, matematyk zacząłby od przerobienia przypadków możliwie najprostszych. Gdyby występował tylko jeden zespół, rozgrywki w ogóle byłyby zbędne. Dwa zespoły rozegrałyby jedno spotkanie. Oblicz, ile spotkań potrzeba w przypadkach, gdy w rozgrywkach bierze udział 3, 4, 5, 6 itd. zespołów. Rychło spostrzeżesz, że istnieje powien prosty związek między liczbą zespołów a liczbą potrzebnych spotkań.

Czy możesz powiedzieć, dlaczego zachodzi taki właśnie prosty związek?

Ile należałoby rozegrać spotkań, gdyby w turnieju wzięły udział 2, 176, 893 zespoły?

Problem wynagrodzenia. Dobrze znana zagadka brzmi następująco. W pewnym biurze pracują dwaj urzędnicy. Smith ma pobierać wynagrodzenie roczne; początkowo wynosi ono 105 £ i co roku będzie podwyższane o 10 £. Jones ma pobierać swoje wynagrodzenie co pół roku; za pierwsze półrocze otrzyma on 50 £, a podwyżka będzie wynosiła co pół roku 5 £. Który z nich został zatrudniony na warunkach korzystniejszych?

Dla większości osób sposób rozwiązywania tej zagadki jest raczej zaskakujący. A wystarczy wypisać sobie, ile dostaje każdy z urzędników:

	Smith		Jones
		I—VI	VII—XII	Ogółem
I rok	105	50	55	105
II rok	115	60	65	125
III rok	125	70	75	145 '
IV rok	135	80	85	165

Na ogół każdy skłonny jest sądzić, że podwyżka co pół roku o 5 £ to tyle samo, co o 10 £ co roku. Wcale tak nie jest. Roczne wynagrodzenie Jonesa wzrasta o 20 funtów. Zatrudniono go na warunkach o wiele lepszych niż Smitha.

Z pytania tego w sposób całkiem naturalny wynikają dalsze problemy. Podwyżka o 5 £ co pół roku to tyle samo co podwyżka o 20 £ co rok. A co by było, gdyby wynagrodzenie wypłacano co kwartał? Jaka byłaby roczna podwyżka, gdyby wynagrodzenie wzrastało o 5 £ co kwartał? A jeśliby w grę wchodziło wynagrodzenie miesięczne? Ile wynosi roczna podwyżka przy wzroście płacy miesięcznie o 1 £? A jaka byłaby roczna podwyżka płacy wzrastającej tygodniowo o 1 szyling?

Można również odwrócić zagadnienie: o ile powinien wzrastać dochód półroczny,, by uzyskana roczna podwyżka wynosiła 10 <£? Jaka powinna być podwyżka kwartalna, miesięczna, tygodniowa?

Jaka ogólna reguła działa w tym przypadku? Dlaczego tak właśnie się dzieje?