CCF20090120062

przemysłowa, zmietnna koniunktura w przemyśle bawełnianym, ewakuacja dzieci podczas wojny itd. Z drugiej strony, niektóre rzeczy zmieniają się w sposób 'bardzo prosty. Przykłady tego podamy niżej. Między tymi dwoma biegunami znajduje się mnóstwo różnych tylpów wzrostu, które można zbadać i opisać mniej lub bardziej łatwo. Nie można oczekiwać, że matematyka skomplikowany problem uprości. Matematyka może dopomóc nam w odkryciu przyczyn, leżących u podstaw taikiego czy innego przebiegu zjawisk; jeśli jednak przyczyny są liczne, a związki między nimi zawiłe, to również ich matematyczny opis nie będzie bynajmniej prosty. My zbadamy jedynie pewne proste przypadki; błędem byłoby mniemać, że każdy dowolnie trudny problem uda się sprowadzić do takich prostych postaci.

NAJPROSTSZY TYP WZROSTU

Przykładem bardzo prostej zależności jest koszt dowolnego artykułu nabywanego np. na metry. Jeśli 1 m wstążki kosztuje 2 zł, 2 m kosztować będą 4 zł, x m — 2x zł. Jeśli koszt zakupienia x metrów, liczony w zł, oznaczymy literą p, to otrzymamy p = 2x.

Wzór ten uczynić można bardziej ogólnym. Jeden metr wstążki nie zawsze musi kosztować 2 zł. Załóżmy, że kosztuje on a, przy czym a oznaczać może dowolną liczbę. W takim razie koszt x metróiw można obliczyć ze wzoru p = ax. Zakładamy, że cena 1 metra nie zależy od tego, ile metrów kupujemy; nie ma rabatu przy wzroście ilości zakupionego towaru. W języku matematycznym fakt ten określamy słowami: a jest stałe (lub a constans).

Takiego rodzaju zależności występują bardzo często. Na przykład, między obwodem okręgu C a jego średnicą D zachodzi związek C — 3,14 D. W wadze sprężynowej sprężyna rozciąga się w stopniu proporcjonalnym do ciężaru zawieszonego na niej odważnika. Jeśli po zawieszeniu 1 kg sprężyna rozciągnie się o k centymetrów, to ciężar x kilogramów sprawi, że rozciągnie się ona o kx cm. Fakt ten odkrył Hooke ok. 1660 r. Do zainteresowania się własnościami sprężyn doszedł on w związku ze swoimi pracami nad konstruowaniem zegarów. Praktycznym rezultatem jego badań był wynalazek balansu i zastąpienie wahadła zegarowego cienką sprężyną. Prawo Hooke’a odnosi się jedynie do dość małych ciężarów. Wielki ciężar bowiem powoduje nadmierne rozciągnięcie się sprężyny; po jego usunięciu sprężyna nie powróci do poprzedniej długości.

W każdym prawie dziale matematyki, techniki i nauk ścisłych spotkać można wzory typu ax.

POTĘGI o?

Inny typ wzrostu występuje wówczas, gdy np. zmieniamy odległość między rzutnikiem lub aparatem projekcyjnym a ekranem. Jeśli odległość tę podwoimy, obraz zwiększy się nie dwukrotnie, lecz czterokrotnie. Jeśli odległość potroimy, będziemy musieli zwiększyć ekran dzie-więciokrotnie.

Prawo rządzące tymi zjawiskami jest proste: 4 = 2-2, czyli 2², 9 — 3 * 3, czyli 3². Jeśli odległość rzutnika od ekranu zwiększymy n razy, będziemy musieli powiększyć ekran n² razy.

Podobnie, jeśli powiększamy zdjęcie lub mapę n razy, musimy mieć papier większy n² razy.

Tu też znajdujemy odpowiedź na nasze wcześniejsze pytanie dotyczące drewna na opał. Wiąz-

127