CCF20090120114

x zawartego między a i b. Znalezienie pola ograniczonego dowolną krzywą jest jednym z zadań całkowania. Czytelnik powinien spróbować samodzielnie narysować powierzchnię, którą wy-1

raża $ x² dx. o

B

Ryc. 40

Związek między całkami a polami jest dla nas ważny z dwóch powodów. Przez pole możemy wytłumaczyć sens całki i lepiej zrozumieć jej własności. Możemy także znaleźć dokładną wielkość Określonego pola, obliczając wartość odpowiedniej całki.

Całkę \ x dx można znaleźć przy bardzo ma-o

łym nakładzie pracy. Próbowaliśmy najpierw rozwiązać to zadanie szukając takiego y, by V — x oraz by y — 0, gdy x — 0 (patrz s. 222). Ale wiemy, że wzorowi y — x² odpowiada prędkość y' = 2x. Jest to dokładnie dwa razy tyle, ile potrzebujemy. Możemy uzyskać dla y wartość żądaną (n), biorąc jako y wartość dwa razy

mniejszą, tj. rozpatrując wzór y    Wzór

Ci

ten daje odpowiedź właściwą: y = x. Jednocześnie — x² jest równe 0, gdy x = 0, tak że waru-

Ci

nek, aby y = 0, igdy x = 0, jest spełniony. A zatem y — —x² jest szukanym wzorem, ponieważ

daje przebytą odległość y odpowiadającą x sekundom. Podstawiając x = 1, otrzymujemy

y = ~z~. Odległość przebyta w ciągu jednej se-1

kundy wynosi więc — . Zgadza się to z wynikiem 0,5, który otrzymaliśmy inną metodą.

Wiele zagadnień całkowania można rozwiązać tą metodą. Myśl jest dość prosta. Poznaliśmy już, jak znajduje się y' odpowiadające wielu różnym typom funkcji y. Teraz stoi przed nami zagadnienie odwrotne: mając y znaleźć y. Rzeczą naturalną jest powrót do naszych wywodów dotyczących zagadnienia poprzedniego. Jeżeli znajdziemy w nich y' żądanego typu, to nasze obecne zadanie rozwiążemy natychmiast. Udowodniliśmy np., że funkcji y = ln x odpowiada

y = —Jeżeli mamy znaleźć $— dx, oznacza

231