CCF20090120136

Oczywiście, nie dowiedliśmy, że szeregi te są równe danym funkcjom; po dowody odsyłamy Czytelnika do podręczników.

Często wygodniej jest przedstawić funkcję w postaci szeregu. Wiemy np. z rozdz. 12, co rozumiemy przez ln 2, niełatwo jednak powiedzieć, jaka to liczba. Otóż możemy ją znaleźć za

pomocą szeregu. Ln 2 można znaleźć znając ln —, 1

gdyż 2 razy — = 1. W przypadku logarytmów 1

ln 2+Im -    ln 1. Ale ln 1 = 0, a zatem ln 2 —

Z

—    podstawiając x = -iw drugim sze-

Z    z

regu podanym w tym ustępie, otrzymujemy -ln y równa się.    ... Wyrazy tego szeregu maleją dość 'szybko; nie musimy brać wielu wyrazów, aby otrzymać bardzo przybliżoną wartość ln 2.

Inna korzyść ze stosowania tego rodzaju szeregów polega na tym, że łatwo je różniczkować i całkować, gdyż rwiemy, jak obchodzić się z potęgami x. Jaki szereg otrzymamy, gdy zróżniczkujemy szereg dla — ln (l—a:)? Czy wynik ten jest sensowny?

W dalszej części tego rozdziału znajdziemy ■szereg dla e^x, a obecnie zajmiemy się znalezieniem szeregu dla cos x i sin x, aby pokazać jak do takiego zagadnienia należy się zabrać.

W rozdz. 13 pokazaliśmy, że sin 0 równa się 0,

_n r    . ..    , , . .    dsinx

cos u równa się 1, a także ze-.- — cos x

d cos x dx

dx

—sin x. Jest rzeczą zdumiewającą, że jedynie na podstawie tych informacji można obliczyć 'interesujące nas szeregi.

Jeżeli cos x przedstawimy w postaci szeregu zawierającego potęgi x, to w kolejnych wyrazach szeregu wystąpią określone liczby [tak jak np. w szeregu dla —Im (1 —'ar) wystąpiły liczby 1,

—, -r-, “ (itd.j; liczby te oznaczmy kolejno

Z O 1

przez a, b, c, f, g, h, j, k, ... (opuściliśmy d i e, gdyż d używamy w specjalnym znaczeniu w wy-dy

rażeniu —, a e ma także specjalne znaczenie). Szukany szereg ma więc postać:

cos a: = a+bx + cx³4-/x³4-grx⁴ + hx^&+ -fjx⁶+lcx⁷ + ...

Naszym zadaniem jest znalezienie wartości liczb a, b, c itd.

Wartość a możemy znaleźć natychmiast. Jeżeli podstawimy x — 0, to otrzymamy cos 0 = — 1, podczas gdy szereg staje się po prostu równy a. A zatem a — 1.

Jeżeli zróżniczkujemy obie strony podanej wyżej równości, otrzymamy (ponieważ pochodna funkcji cos x wynosi —sin ar):

—sina; — b+2cxA3fx²+4srx³-b5ftx⁴ +

+ 6jx⁵-f 7Jcx⁶ 4- ... _j

Wartość b możemy teraz znaleźć podstawiając x = 0. Sin 0 = 0, więc b = 0.

Zróżniczkujemy teraz szereg dla —sin x. Pochodna funkcji sin x wynosi cos x, więc

—cosx — 2c-j-6;fx -(-12grx³-)-20bx³-f30jx⁴-f-+42kx⁵+ ...

Wartość c znajdujemy dokładnie tą samą metodą. Podstawmy x = 0. To prowadzi do równości — 1 = 2c, a więc c =--

18* 275