CCF20090120142

Przyjęcie k = 0,001 oznacza, że pręty rozmieszczone są w odległości jednej tysięcznej cm od siebie. Przy przejściu od x = 0 do x = 1 długość pionowego pręta trzeba będzie pomnożyć przez 1,001 tysiąc razy. Zatem a, długość pręta w punkcie x = 1, wyniesie (l,001)^100ft.

Gdybyśmy zamiast modelem precyzyjnym operowali modelem prymitywnym, doszlibyśmy / 1 \¹⁰

do wyniku 11 — 1 . Model precyzyjny daje lep-

(1 \¹⁰⁰⁽⁾

prętów będziemy rozpatrywać, tym dokładniejsze uzyskamy odpowiedzi. Odpowiedzi te zaw-

/    i\*»

sze będą miały postać I 1+—1 ; im większe jest

n, tym dokładniej yf jest równe y. Gdy n staje

/ l\ⁿ

się coraz większe, 114-"-) zbliża się coraz bardziej do liczby 2,71828, o której wspomnieliśmy w rozdz. 11 i która nazywa się e. Jeżeli y — e^x, wówczas zupełnie dokładnie y — y.

W rozdz. 11 liczbę e znaleźliśmy inną metodą, mianowicie obierając liczbę a, która daje najprostszy wynik dla pochodnej logarytmu o podstawie a. Ponieważ y ~ a^x oznacza to samo, co x = log_ay, jest rzeczą naturalną, że ta sama liczba e 'daje najprostszą odpowiedź w obu przypadkach. Czytelnik może sam dowieść, że obie metody są w istocie identyczne. Jedyna komplikacja polega na tym, że oznaczenia x i y zostały zamienione miejscami: w rozdz. 11 przyjęliśmy y — leg_aar, a tutaj o: = log_ay.

Maimy już dość informacji o e^x, aby móc znaleźć szereg dla tego wyrażenia. Gdy x — 0, to e^x ~ 1. Jeżeli y — e^x, to y — e^x. Metoda, za pomocą .której znaleźliśmy szereg dla cos x, nadaje się równie dobrze w przypadku e^x. Posługując się nią otrzymujemy:

= l+x+ }*² + j x‘+

+

720

Czytelnik może sam zróżniczkować ten szereg i sprawdzić, że szereg dla y jest identyczny z szeregiem dla y, czyli że y' = y.

Zastosowana metoda nadaje się także dla wielu innych funkcji: wiąże się ją z nazwiskami Taylora i Maelaurina.

Funkcja a^x ma własności podobne do własności funkcji e^x, gdyż, jak widzieliśmy, wykres funkcji a^x można otrzymać z wykresu funkcji e^x przez zmianę skali wielkości x (ściskając lub rozciągając model w punktach A i B).

ZASTOSOWANIA FUNKCJI _e^x

Znaczenie funkcji e^x związane jest z własnością, że y = y, czyli że tempo jej wzrostu jest równe jej wielkości. Jeżeli zamiast e^x bierzemy e^bx, gdzie b jest dowolną liczbą stałą, to y — by; a więc tempo wzrostu tej funkcji jest proporcjonalne do jej wielkości.

Istnieje wiele wielkości, które rosną w ten sposób. Przytoczyliśmy już przykład dotyczący pożyczania pieniędzy. 1000 £ rośnie tysiąc razy szybciej niż 1 £. To samo występuje w handlu.

287