CCF20140608019

5.4. Definicja fraktali 61

1)    dim_top(F) = — 1 wtedy i tylko wtedy, gdy F jest zbiorem pustym;

2)    dim_t0p(F) = n wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x € F i dla każdego otoczenia U_x punktu x istnieje niepusty otwarty zbiór V, taki że

a)    xeVcU_Xr

b)    dim_top((5y HF) < n — 1,gdzie SVfi F jest przecięciem zbioru F z brzegiem zbioru V,

c)    liczba n jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której zachodzi nierówność b).

Przykładowo, wymiar topologiczny zbioru Cantora jest równy zero, a trójkąta Sierpińskiego i brzegu zbioru Mandelbrota wynosi jeden.

Wymiar topologiczny jest zawsze mniejszy albo równy wymiarowi Haus-dorffa.

5.4. Definicja fraktali

Definicja fraktali, początkowo opisowa i niejednoznaczna, zmieniała się na przestrzeni lat (również w kolejnych wydaniach tej książki), ale obecnie utrwaliła się już definicja Mandelbrota.

Definicja 5.3. Fraktalem nazywamy taki zbiór, którego wymiar topologiczny jest różny (mniejszy) od wymiaru Hausdorffa.

Przy takiej definicji fraktalem jest gwiazdka von Kocha i płatek śniegu (rys. 4.2), ale wnętrze gwiazdki von Kocha nie jest fraktalem. Zbiór Mandelbrota (rys. 1.5A i rys. 13.1) nie jest fraktalem, ale jego brzeg jest fraktalem. Zbiór Cantora jest fraktalem, ale istnieją obiekty geometryczne homeomorficzne ze zbiorem Cantora, które nie są fraktalami, bo oba wymiary mają równe zero. Fraktalem jest piramida Sierpińskiego z przykładu 5.5, zbiór iks3 z przykładu 5.3 i zbiór znps dla A = 1/4 z przykładów 5.2 i 3.1, chociaż dla każdego z tych zbiorów wymiar Hausdorffa jest liczbą całkowitą.

Ponieważ wymiar topologiczny zawsze jest liczbą całkowitą, to fraktalem jest każdy zbiór, którego wymiar Hausdorffa nie jest liczbą całkowitą.