CCF20130522007

140

'/< warunków początkowych g₂ (0) = c₂, g'₂ (0) = 0 wynika, że [3 = c₂, tr (), cy,yli ostatecznie

u (x, Z)

B — A -T-r    n7TC U7T

A H---—x    c_n cos —j—t^sm ~J~^X

n=l

l f    2lTC .    .    27T

H--/ sm 2s sm —— (Z — s) as ■ sm —a;.

27TC J    Z    l

o

W sytuacji ogólnej, gdy A i B są funkcjami zmiennej Z, należy poszukiwać rozwiązań w postaci

u (x, t) — v (x, Z) + r₀ (x) A (Z) + ri (x) 5 (Z).

Jeśli chcemy, by warunki brzegowe na v były jednorodne, musimy mieć r₀ (0) = 1, ri (0) = 0 oraz r₀ (Z) = 0, r/ (Z) — 1. To podstawienie jest możliwe dla A i B klasy C², ale wybór r₀ i r; jest już prosty:

r₀(x) = 1-y,    r,(z) = y.

Dla ogólniejszych warunków brzegowych

u_x (0, Z) + ru (0, Z) = A (Z),

'U-t (Z, Z) + su (Z, t) = B (Z),

należy użyć innych funkcji liniowych zmiennej x w miejsce r₀ i r;.

Ćwiczenie 6. u_t = a²u_xx, u(0, Z) = 0, u_x(l,t) = Z, u(a;,0) = sin ^f-x.

Ćwiczenie 7. u_tt — u„, u_x (Z, Z) — ru (0, Z) — A, u_x (Z, Z) + ru (Z, Z) = —A, u (x, 0) = u_t (x, 0) = 0.

Do tej pory stosowaliśmy metodę rozdzielania zmiennych do równań parabolicznych i hiperbolicznych; teraz rozwiążemy problem eliptyczny.

Przykład 6. u_xx + u_yy = 0,

u (0, y) = A (y),    u (a, y) = B (y),

u (x, 0) = 0,    u (x, b) = sin ^x.

Warunki zgodności: A (0) = B (0) = 0, A (6) = B (6) = 0. Poszukujemy u w postaci sumy

u = v + w,

gdzie v jest rozwiązaniem problemu:

f v_xx + v_yy = 0, v (0, y) = v (a, y) = 0,

v (x, 0) = 0, w (x, b) = sin ^x,

a w jest rozwiązaniem zagadnienia:

f w_xx + w_yy = 0,    w(x,0) = w(x,b) = 0,

\ w (0,y) = A (y), ru (a, y) = B (y).

Obu tych funkcji szukamy metodą Fouriera. Jeśli v (x, y) = f (x) g (y), to

/"(*) g»(y) y / (») p (y)

Spełnienie warunków brzegowych jednorodnych na krawędziach a: = 0, x — a, prowadzi do zagadnienia Sturma-Liouville’a

f" (^x) — Xf (x) — 0,    / (0) = / (a) = 0,

które ma wartości własne

i funkcje własne

.    nn

Jn {x) = sm —x, n = 1,2,... a

Stąd g_n musi spełniać równanie

mr

9n (y)--9n y = o,

a

czyli mieć postać

9n (y) = c_ne-¹ⁱ“^y + d_nc~^^y,

gdzie c_n, d_n G R.

Ostatecznie funkcja v powinna mieć postać

OO

T17T

sin —x. a

“ł“ dn &

v{x,y) = Yj

n= 1

Wykorzystując pozostałe dwa warunki brzegowe dobieramy stałe c_n i

dn-

oo

0 = v (x, 0) = y (c_n + d_n) sin ■—x => c„ + d_n = 0

i    ^a

71= 1