Egzamin2(1)

I

\

2~*-łw I

1. Opisać podzbiór płaszczyzny zespolonej A = {z 6 C : |z — 2i| = |z -f 1|}.

r:

/i -1

1

X- Rozwiązać równanie macierzowe = C dla A =

1    3

-1 2

,B =

2 1 1 3

,C =

-8 1 -7 4

3. Podać odwzorowanie liniowe / : R⁴ —► R³ spełniające ker/ = {(x,y, z, t)\z = t = 0} oraz im/ = {(z, y, z)] x + y -f z = 0}. Uzasadnić. Uwaga: takich odwzorowań jest wiele.

4. Przekształcenie liniowe / : R³ —► R³ spełnia /(0,1,2) = (0, —1, —2), /(1,1,3) = (0,0,0), /(2,1,2) = (2,1,2). Obliczyć /¹⁰⁰[1,2,3)'.    'lauu*¹^’    wWnA__

$. Podać bazę ortonormalną przestrzeni V = {(z,?/, z,t)

iM, 1 \\ 1; ~ \/^Ą\; $ ^;

Znaleźć rzut ortogonalny wektora (3, —3, —2,3) G R⁴

G R⁴; z — 2?/ — ^ + t = 0}.

G R⁴ na podprzestzrzeń

U = {(z,y,z,t) G R⁴;x — 2y — z + t = 0}    0_/ (?, i)

7^ Wektory są liniowo iftezależne <<=> jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych, (dowód)

A. Iloczyn skalarny, norma wektora, nierówność Schwarza. Kąt miedzy wektorami.