egzamini

I

Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej, 27.IF09

| ^    X j

Zadanie 1. Dla n E N niech

x_n := \fn\.

Wykazując najpierw nierówność n! <    [lub w inny sposób] udowodnić,

że kresem dolnym zbioru

B := {—^x_n :n e N}

jest liczba zero. Wykazać też, że sup{x_n : n £ N} = H-oo, czyli -że ciąg o wyrazach x_n nie jest ograniczony z góry.

Zadanie 2. Wyznaczyć całki nieoznaczone:

X

e^x -f- e~^x

dx,

/

e^2t sin t dt.

Zadanie 3. Znaleźć granice:

lim

x—>0

arc sin x\_x

x

In² x

lim

x—>oo x

Zadanie 4. Przypuśćmy, że szereg liczbowy ]C_n=1 ^an jest zbieżny, przy czym a_n > 0. Wykazać, że wówczas szereg i ^an jest również zbieżny. Podać przykład wskazujący na konieczność założenia o nieujemności wyrazów a_n. Wykazać rozbieżność szeregu

OO

£

n

~^[n-f- ln n

Zadanie 5. Zbadać przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne i prze działy wypukłości dla funkcji określonej wzorem

g(x) = xexp(-).

X