Image53

104

Wobec tego możemy napisać różniczkowe równanie ruchu kulki w następującej postaci

d²x    g

-r-=- + — X

dt^z    R

= 0.

Stosując standardowe podstawienie co² = ~ dostajemy równanie różnicz

R

kowe drugiego rzędu, liniowe jednorodne

d²x

dt²

+ (d²x — 0

Całka ogólna tego równania jest postaci (patrz rozwiązanie zad.2.9)

C₁ e^icit + C

- icot

Stałe C\ i C₂ wyznaczamy z warunków początkowych

i = 0,

x(0) = R,

x (0) = 0,

= R coso)t = R cos 11

Czas, w ciągu którego kulka osiągnie środek Ziemi, obliczamy z równości

1248 [s].

Prędkość kulki obliczamy ze wzoru

Kulka minie środek Ziemi z prędkością

sin ( t_v

^ = 7,9 [km/s].

2.47. Żądanie zawarte w zadaniu zostanie spełnione wtedy, gdy maksymalne przyspieszenie ruchu drgającego deski będzie równe co najwyżej przyspieszeniu ziemskiemu spadku swobodnego. Wychylenie deski z położenia równowagi jest opisane równaniem

x — x_a cos ot,

a więc przyspieszenie deski

x = —x₀(x)² coscoć = — cd^z x.

W ruchu drgającym przyspieszenie osiąga wartość maksymalną w punktach maksymalnego wychylenia. Zatem warunek zadania będzie spełniony dla takiej wartości co, dla której

czyli dla

(V²X₀

2.48. W przypadku graniczny

warunek dla sił przybiera postać

mx₀

T

png,