img058

124 UL NiepaiAmeiryczne testy istotności

oraz wartość statystyki    1

0.4)    X~Dy/n,

która przy prawdziwości hipotezy H₀ ma rozkład X Kołmogorowa, niezależny od postaci hipotetycznej dystrybuanty F(x).

Dla ustalonego poziomu istotności a odczytujemy następnie z granicznego rozkładu X Kołmogorowa taką wartość krytyczną X_9> aby zachodziło ? {lęZ/.^}=7., a następnie porównujemy wartość empiryczną X z krytyczną j wartością X_a. Jeżeli zajdzie nierówność X> X₉, to hipotezę H₀ należy odrzu- | cić, natomiast gdy X<X_at riejna podstaw do odrzucenia hipotezy H_0l j że rozkład badanej cechy ma dystrybuantę hipotetyczną F(x).

Model U. Dane są dwie poputacje generalne o rozkładach z ciągłymi j dystrybuantami J^?1(x) i F₂(x), Z populacji tej pobrano losowo dwie duże ; próby o łiczebnościach rti i ti₂. Na podstawie wyników tych prób należy j sprawdzić hipotezę, że obie próby pochodzą z tej samej populacji, izcl j hipotezę H_ó: F₁(x)=F₂(x)    ■    j

Test istotności Smimowa oparty na statystyce X Kołmogorowa jest i następujący. Warniki obu prób grupujemy w stosunkowo wąskie przedziały ; klasowe o tych samych końcach x_}. Dla każdego Xj obliczamy wartości . empirycznych dystrybuant z obu prób

(3.5)    Mz)=—.    f„<*)=— ,

ⁿl    *2

gd2ie oraz n_ZA^ oznaczają skumulowane aż do Xj liczebności w obu próbach oddzielnie- Obliczamy następnie wartość statystyki

(3.6)    D*-_Sup|F,₁<x)-f.,W|

X

oraz wartość statystyki

(3.7)    gdzie n = -”¹    ,

«l⁺"2

Statystyka A przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ ma asymptotyczny rozkład X Kotmogorowa.

Z tablicy tego rozkładu dla ustalonego z góry poziomu istotności * odczytujemy wartość krytyczną tak by P{/.^z._x} = a. Gdy obliczona wartość statystyki 2 spełnia nierówność    hipotezę H₀ odrzucamy*

izn. obie próby pochodzą z różnych populacji. Gdy natomiast \<X_x> nic ma podstaw do odrzucenia hipotezy, te rozkłady obu populacji są takie ^ mc.

Przykład 1. Na pewnej maszynie toczy się wiertła o określonej średnicy. Losowa próba n = 200 dała następujący rozkład średnic (w mm) wyprodukowanych wierteł:

Średnica	Liczba wierteł
29,5 - 30,5	12
30,5-31,5	23
31.5-32,5	35
32,5 - 33.5	62
33.5 - 34,5	44
34.5 - 35.5	18
35,5 - 36,5	6

Na poziomie istotności 2 = 0,05 zweryfikować za pomocą testu Kołmogorowa hipotezę, żc rozkład średnic wierteł jest normalny.

Rozwiązanie. Jest to typ zadania zgodny z modelem 1. Weryfikujemy hipotezę H_d: Ftx)-F_n{x\ gdzie F_ę(x) jest dystrybuaDlą rozkładu N{m₇&), 7. próby obliczamy oszacowania obu parametrów' rozkładu normalnego, otrzymując x^ 32,9 oraz s= 1,4. Ze względu na dużą próbę przyjmujemy te wartości za m i c. W celu uzyskania wartości empirycznej i teoretycznej dysirybuaniy dla końców przedziałów, standaryzując je przedtem, dalszy obliczenia przeprowadzamy tabelarycznie. Mamy

		F(Ut) = F(x)		n*.	F*{>r)	|*V»-FU)J
30.5	-1,71	0.044	n	12	0.060	0.016
31,5	-1.00	0,159	23	35	0.175	0.016
32,5	-0,29	0,386	35	70	0.350	0,036
.33.5	+ 0.43	0,666	62	132	0,660	0,006
34,5	1,14	0,873	44	176	0,880	0.007
35*5	1,86	0,969	13	194	0,970	0,001
1 36,5	2,57	0.995	6	200	1.000	0,005