img062

132 Ul. Nieparametryczne testy istotności

Mnożąc te prawdopodobieństwa przez ogólną liczebność próby otrzymujemy macierz liczebności teoretycznych [rip(_}]. Z elementów macierzy liczebności empirycznych [nj oraz elementów macierzy liczebności teoretycznych [nptj] konstruujemy statystykę

(n^npjj)¹

rtPcj

(3.10)

z³=i i

r=ij-i

Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości hipotezy ff₀ o niezależności cech, asymptotyczny rozkład y¹ z (r— l)(j— 1) stopniami swobody.

Obszar krytyczny (prawostronny) w tym teście określa nierówność X²>/1, gdzie x* jest wartością krytyczną odczytaną z tablicy rozkładu^² dla ustalonego z góry poziomu istotności y i dla (r—1)($—1) stopni swobody w^? taki sposób, aby zachodziła relacja P{y^z^Xa)=^a- Obliczoną wartość X² porównujemy z wartością krytyczną y² i jeżeli zajdzie nierównośćx^z>xl> to hipotezę H_a o niezależności badanych cech Dależy odrzucić, co oznacza ich zależność. Gdy natomiast x²<xl* nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o niezależności badanych cech.

Uwaga. Zc względu na wymaganą liczebność co najmniej 8 elementów w każdej kratce, zachodzi czasem konieczność połączenia za pomocą spójnika „lub” dwu kategorii danej cechy w jedną. Zmniejszają się przy tym wymiary tablicy niezależności, a co za tym idzie, zmniejsza się liczba stopni swobody statystyki x²> Najmniejsze wymiary tablicy niezależności wynoszą 2 X 2 i statystyka /² ma wtedy tylko 1 stopień swobody (jest to tzw. tablica czteropobwa).

Przykład. W celu stwierdzenia, czy podanie chorym na pewną chorobę nowego leku przynosi poprawę w ich stanie zdrowia, wylosowano dwie grupy pacjentów w jednakowym stopniu chorych na tę chorobę i jednej grupie o liczebności 120 podawano nowy lek, a druga grupa o liczebności 80 pacjentów otrzymała tradycyjne leki. Po pewnym czasie stwierdzono

	Stan zdrowia po leczeniu
Leczeni j	bez poprawy	wyraźna poprawa	całkowite wyzdrowienie
badanym lekiem	20	40	60
tradycyjnie	45	20	15

zestawione w tablicy liczebności chorych w poszczególnych kategoriach stanu zdrowia. Na poziomic istotności a=0₇00I zweryfikować hipotezę, że nowy lek istotnie poprawia stan zdrowia pacjentów.

Rozwiązanie. Wysuniętą hipotezę badawczą zamieniamy na hipotezę statystyczną H₀: P{X=x_if Y=y_i}=P{X~xdP{Y=y_i}_t o niezależności obu badanych cech jakościowych Oj. rodzaju leczenia i stanu zdrowia po leczeniu). Jeżeli powyższą hipotezę statystyczną H_a o niezależności w wyniku zastosowania testu niezależności -/? trzeba będzie odrzucić, to oznaczać to będzie wobec danych zawartych w powyższej tablicy, źe stan zdrowia po leczeniu zależy istotnie od zastosowania badanego leku, co udowodniłoby jego przydatność.

Obliczenia w tekściey* niezależności rozpoczynamy od obliczeń liczebności brzegowych rt_{. i n.j oraz oszacowania prawdopodobieństw brzegowych po i p.y Przyjmując następnie założenie o niezależności cech obliczamy prawdopodobieństwa teoretyczne Pjj=Po p.j. Wyniki obliczeń prawdopodobieństw p_j;- zamieszczone są w prawym górnym rogu każdej kratki. Mnożąc te prawdopodobieństwa przez rc = 200 otrzymujemy dla każdej klatki liczebności teoretyczne np_({, które umieszczono w dolnym lewym rogu. Zauważyć przy tym trzeba, że zc względu na konieczność bilansowania się elementów w wierszach i kolumnach obliczenia przeprowadzamy tylko dla tylu kratek, ile wynosi liczba stopni swobody, tzn. (r- l)(s—1) = -(2-1)(3 —).)—2, a pozostałe elementy zarówno macierzy [p_i}] jak i \pp_tj] wyznaczamy z wartości brzegowych.

Leczeni	Stan zdrowia po leczeniu
	bez poprawy j wyraźna I poprawa	! całkowite | ^ wyzdrowienie	Pi-
badanym j Ickiem	'0,195 , 0,1«0 20 40	[0.225 60 220	0,60
	39 i 36	45 1
. tradycyjnie 1	; 0.130 0,120	0,150	0,40
	45 20	15 : eo
	26 \ 24 j , 30 i
1 i n.j	■ v> s •*>
| P-i | 0,325 0.300		0^75	i.oo '=