img054

116 III. Nieparametryczne testy istotności

Uwaga. Gdy w rozkładzie empirycznym z próby występuje w pewnej klasie liczebność mniejsza od 8, to należy połączyć ją z sąsiednią, uzyskując większą liczebność. Oczywiście zmniejszy się wtedy liczba stopni swobody Xⁱ-

Przykład 1. Losowa próba n=200 niezależnych obserwacji miesięcznych wydatków na żywność rodzin 3-osobowyeh dała następujący rozkład tych wydatków (w tys. zł):

Wydatki	Liczba rodzin
J.0-1,4	15
1.4 -1,8	45
1,8-2,2	70
2,2-2,6	50 •
2,6 -3.0	20

Należy na poziomic istotności 3=0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład wydatków na żywność jest normalny.

Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, że nie są sprecyzowane parametry rozkładu hipotetycznego, stawiamy zatem hipotezę H₉: F(x)eQ, gdzie jest klasą wszystkich dystrybuant normalnych. Hipotezę tę weryfikujemy za pomocą testu/². Dwa parametry rozkładu, średnią m i odchylenie standardowe rr, szacujemy z próby za pomocą estymatorów uzyskanych metodą największej wiarygodności i uzyskujemy wartości *=2,0 tys. zł oraz s=0,43 tys. zł. Dalsze obliczenia w teście /² wygodnie jest przeprowadzić tabelarycznie, przy' czym niech u-_t oznacza standaryzowaną (tj. u_t= ={*,-*)/s) wartość prawego końca przedziału klasowego, a F{u_{) wartość dystrybuanty rozkładu N(0, 1) w punkcie u_;. Mamy

	n,	u,	Fiu,)	Pt	nPi	0n,-np,Y	Wi j
1.4	15	-1,39	0,082	0,082	16,4	1,96	0,12
1.8	45	-0.46	0.323	0,241	48,2	10,24	0.21
2,2	70	+ 0.46	0,677	0.354	70,8	0,64	0,01
2,6	50	1,39	0,918	0,241	48.2	3,24	0,07
3.0	20	—	—	0,082	16,4	12,96	0.79
	200			1.000	200,0		1,20

Zwróćmy przy tym uwagę, że prawdopodobieństwo dla ostatniego przedziału wyznaczamy jako l -F(l,39). Otrzymaliśmy więc wartość statystyki y² = 1,20. Odpowiednia liczba stopni swobody wynosi 5— 2— 1 = 2. Z tablicy rozkładu z⁷ dla 2 stopni swobody i dla przyjętego poziomu istotności *=0,05 odczytujemy wartość krytyczną xl —5,991. Ponieważ

j^a = l,20<5,991 =xl,

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, te rozkład miesięcznych wydatków na żywność w populacji rodzin 3-osobowych jest normalny.

PR2YKIAD 2. Zbadano 300 losowo wybranych 5-sekundowych odcinków czasowych pracy pewnej centrali telefonicznej i otrzymano następujący empiryczny rozkład liczby zgłoszeń:

Liczba zgłoszeń	Liczba odcinków
0	50
l	100
2	80
3	40
4	20
5	10

Na poziomie istotności i=0,05 należy zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby zgłoszeń w tej centrali jest rozkładem Poissona.

Rozwiązanie. 2 treści zadania wynika, źr nie jest sprecyzowany parametr 2 rozkładu Poissona, stawiamy więc hipotezę H₀: F(x)eQ_} gdzie F(x) jest dyatrybuantą rozkładu liczby zgłoszeń, a 12 klasą wszystkich rozkładów Poissona. Parametr X szacujemy z próby za pomocą jego estymatora uzyskanego metodą największej w iaty godność i, którym jest średnia z próby x. Otrzymujemy 5=1,7. Przyjmując za A tę wartość, z tablicy rozkładu Poissona odczytujemy prawdopodobieństwa p_l dla każdej kolejnej liczby zgłoszeń i przeprowadzamy tabelarycznie dalsze obliczenia w orfo uzyskania wartości statystyki X².