img066

140 III. Nieparametryczne testy istotności

próby, liczba serii k ma znany i stablicowany rozkład, zależny tylko od «! i liczebności elementów a i b. Tablice rozkładu liczby serii podają taką wartość k_x, ic P{k^.k_x}=x. W oparciu o ten rozkład budujemy dwustronny obszar krytyczny dla testu losowości w taki sposób, że dla przyjętego poziomu istotności ct (najczęściej 0,05) odczytujemy z tablic takie dwie wartości krytyczne k_x i k_2> aby zachodziły relacje

i P{kśk₂}^ l-*a.

Odczytaną z danego ciągu liczbę serii k porównujemy z tymi wartościami krytycznymi k_{ i A*. Jeżeli zajdzie jedna z nierówności k^ki łub k^k₂. to hipotezę o losowości próby należy odrzucić (otrzymaliśmy zbyt małą lub zbyt dużą liczbę serii). Natomiast gdy zajdzie nierówność k₁<k<k₂, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości próby.

Model U. Dane są dwie populacje generalne o dowolnych rozkładach badanej cechy, Z populacji tych wylosowano dwie próby o liczebnościach odpowiednio n_T i «₂- Na podstawie wyników tych prób należy zweryfikować hipotezę, że rozkłady obu populacji nic różnią się, czyli hipotezę H_c: dwie próby pochodzą z jednej populacji.

Test istotności dla lej hipotezy, oparty Da rozkładzie liczby serii, jest następujący. Wyniki obu prób ustawiamy w jeden ciąg według rosnących wartości. Oznaczamy elementy próby z jednej populacji za pomocą symbolu <7, a z drugiej populacji za. pomocą sjmbolu Odczytujemy z niemalcją-cego ciągu liczbę serii k, Obszar krytyczny budujemy lewostronnie w taki sposób, źe z rozkładu liczby serii odczytujemy dla odpowiednich i nj oraz dla ustalonego z góry poziomu istotności y taką wartość krytyczną A,, by P{k^k^}=iy. Jeżeli otrzymamy liczbę serii k z danego ciągu, która spełnia nierówność kś.k_x, to hipotezę H₀ odrzucamy, tzn. dwie próby różnią się istotnie. Jeżeli natomiast k>k_x, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkłady obu populacji są takie same, czyli dwie próby nie różnią się istotnie.

Model m. Daną populację generalną badamy ze względu na dwie cechy X i Y Z populacji tej wylosowano n elementów do próby, otrzymując wyniki (x,,y₍). Na podstawie wyników tej próby należy zweryfikować hijootezę, źe funkcja regresji cechy Y względem X w populacji jest liniowa, tzn. jest postaci y=yx+fi.

Test istotności dla tej hipotezy oparty' na rozkładzie liczby serii jest następujący. Z wyników próby, metodą najmniejszych kwadratów, wyznaczamy oszacowanie funkcji regresji y <=ax+b oraz jej wartości y, dla wszystkich x_t w próbie. Wartości y, z próby odpowiadające uporządkowanym według kolejności rosnącej wartościom x_t oznaczamy symbolem a. jeżeli >-_J>p_i (tj. punki empiryczny leży ponad prostą regresji), bądź też oznaczamy je symbolem ń, jeżeli >'i<yi (tj. punkt empiryczny Jeży poniżej prostej). W uporządkowanym według rosnących wartości x_: ciągu wyników próby odczytujemy liczbę serii k. Z tablic liczby serii odczytujemy dla rti i n-z liczbę eleme nić w a i b oraz dla ustalonego z góry poziomu istotności i taką wartość krytyczną k*, że P{k^k_u}=a. Porównujemy uzyskaną w ciągu liczbę serii k z wartością krytyczną k_a. Jeżeli zajdzie nierówność    to hipotezę o tym, że regresja Y względem A^-jest liniowa,

należy odrzucić: oznacza lo, że -wykres funkcji regresji jest jakąś krzywą. Gdy zaś k>k_3t nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowości regresji, bo liczba serii jest duża, co oznacza, że przeprowadzona prosta zostawia po obu stronach punkty empiryczne dobrze do nich pasując. Należy dodać, że z uwagi na własności metody najmniejszych kwadratów, najmniejsza liczba serii wynosi Je = 3.

Przykład 1. Do pewnych doświadczeń farmakologicznych potrzebne są szczury- o określonej wadze ciała. Po otwarciu klatki do próby wzięto pierwszych 15 zwierząt, które same wyszły z klatki. Były to zwierzęta o następujących, kolejnych wagach (w g): 530, 620, 560, 320, 480, 550, 490, 500, 460, 430, 380, 390, 360, 400, 370. Za pomocą testu serii na poziomie istotności 2=0,10 zweryfikować hipotezę, źe taki dobór zwierząt do próby jest losowy.

Rozwiązanie. Jest to typ zadania zgodny z modelem I. Wyznaczamy najpierw medianę me z próby. Ponieważ «=15, mediana jest ósmym w kolejności rosnącej wynikiem. Mamy zatem me =460. Oznaczając symbolem a wyniki w ciągu podstawowym mniejsze od mediany i symbolem b wyniki większe od mediany i pomijając wynik równy medianie, otrzymujemy ciąg bbb abbbb aaaoaa, w którym liczba serii wynosi £=4. Liczba elementów a wynosi n_Ł=7, liczba elementów b wynosi ttj=7. Z kolei, z tablicy' rozkładu liczby serii odczytujemy dla a=0,10, tzn. dla ^<*=0,05 i 1—£*=0,95, wartości krytyczne k_x =4 oraz Jc₂ = 11. Ponieważ otrzyma-