lastscan60

W praktyce bardzo często punktem wyjścia budowy modelu wartości kapitału jest znana wartość /ć(0) kapitału K w momencie 0. Dla wygody Czytelnika podajemy postać modeli (4.1) i (4.6) odpowiadającą temu przypadkowi:

K(t) = AT(0)(1 +r/_f te R.    (4.8)

*(/) = K(0)e'«\ te R.    (4.9)

Przykład 4.3

W przykładzie 4.2 rozpatrywaliśmy model (4.1) wartości kapitału K przy rocznej stopie r = 25%, utworzony na podstawie wartości K(Q) = 1000,

K{1) = 1000- 1,25'^-2, te R.

Podaliśmy tam również inną postać tego modelu, odpowiadającą wartości AT(0) = 640.

KU) = 640-1,25'. te R.

Łatwo zauważyć, że taka postać modelu bezpośrednio wynika z wzoru (4.9).

Zastąpimy teraz stopę oprocentowania rocznego r tego modelu równoważną stopą oprocentowania ciągłego r_c. Z warunku (4.7) otrzymujemy r_c = 22,31%. Przy tej stopie i przy założeniu znanej wartości kapitału K(2) = 1000 model ma postać

KU) = 1000e^a223,('-²\ te R. a przy danej wartości AT(0) = 640

K(t) = 640e⁰-²²³¹', te R.

Wykresem każdego z powyższych modeli wartości kapitału K jest oczywiście ta sama krzywa wykładnicza z rysunku 4.3.

Na koniec tego przykładu zauważmy, że w literaturze z zakresu matematyki finansowej zwykle nie stosuje się różnych oznaczeń dla stopy oprocentowania rocznego i stopy oprocentowania ciągłego. Gdy więc dowiadujemy się. że parametrem modelu wartości kapitału w czasie jest stopa o wysokości np. 25%. z kontekstu musimy wywnioskować, czy chodzi o stopę oprocentowania rocznego, czy ciągłego. W tym drugim przypadku tempo wzrostu wartości kapitału byłoby wyższe, ponieważ z warunku 1 + r = e⁰-²⁵ wynika, że r = 28,40%.

■

Parametrem modeli wartości kapitału wyprowadzonych w tym punkcie rozdziału jest stopa procentowa, dana jako stopa kapitalizacji rocznej lub ciągłej.] W wielu modelach inwestycji Finansowych przyjmuje się, że jest to stopa wolna od ryzyka, a jej wartość kształtuje rynek. Ustalenie odpowiedniego poziomu tej stopy 1 jest bardzo istotne, ponieważ bezpośrednio od tego zależy zgodność modelu z rzeczywistymi cechami modelowanego procesu zmian wartości kapitału, a tym samym - trafność wnioskowania o jego przyszłych i przeszłych w artościach.

Wspominaliśmy, że model wartości kapitału w czasie jest w matematyce ifoansowcj używany do wyceny rent. modelowania spłaty długów i analizy Httstycji finansowych, o czym będzie mowa w następnych rozdziałach tej |liu.|/ki. Nie są to jedyne obszary jego zastosowań. Poniższy przykład ilustruje Wykorzystanie modelu wartości kapitału w analizie pew nego problemu z dziedziny kr/ądzania firmą.

I Przykład 4.4

L W modelu funkcjonowania pewnej firmy funkcja kit), ciągła względem czasu. Dpiiuje koszt materiałów' zużytych w procesie produkcji. Dla ustalonej chwili ■Wartość k(t)ót można interpretować jako wartość kosztów poniesionych w krótkim ^Jedziale czasu (/. t + d/). Zauważmy, że łącznej wartości kosztów w okresie (0, 71 Jeży obliczać jako całki

j*(/) <H.

O

ponieważ byłoby to „sumowanie*’ kosztów bez uwzględnienia czynnika czasu, ■f celu obliczenia łącznego kosztu poniesionego w okresie [0. T] trzeba najpierw Bktualizować poszczególne wartości kosztu k(t) na jeden, wspólny moment i dopiero wtedy dokonać „sumowania" poprzez obliczenie odpowiedniej całki. Aktualizując k(t) na moment T według modelu (4.1). otrzymujemy

*(r)(l+r)^r-',

Bwiązku z czym łączny koszt w okresie [0. 7], obliczony na moment T, jest równy

T

K(T) = jk(t)(\+r)^T~'dt.

tości tych samych kosztów, ale obliczonej na moment 0, możemy dojść Butna sposobami. Po pierwsze - postępując jak wyżej - możemy obliczyć ■ktualizowaną wartość kosztu k(t) na moment 0

*(00+r)-'.

hastępnie obliczyć łączne, zaktualizowane na moment 0, koszty w' okresie (0, T\

T

=

W) = /*(/)(!+r)-'d/.

gim sposobem, wynikającym z addytywności modelu (4.1). jest aktualizacja na ent 0 obliczonej wcześniej wartości K(T)

A'(0) - K(T)(I + r)~^T = (1 + r)^-r Jfc(f) (1 + r)^r“'d/ = /*(/)(! +r)"'d/.

o    o

prowadząca oczywiście do takiego samego wyniku jak wcześniej.