lista 8

ALGEBRA I ELEMENTY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Wydział Elektroniki LISTA 8

1.    Działanie 4- w zbiorze R* jest określone wzorem a 4- b = —5. Sprawdzić, że jest ono przemienne i łączne. Wykazać, że działanie 4- nie ma elementu neutralnego.

2.    Działanie o jest określone w zbiorze R wzorem a o 6 = (^a + v^6)³. Sprawdzić, czy jest ono przemienne i łączne. Znaleźć element neutralny tego działania. Wyznaczyć elementy odwrotne do tych liczb a G R, które taki element mają.

3.    Sprawdzić, czy zbiór R wraz z działaniem o tworzy grupę, jeśli:

(i)    a o b = a + 6 - 5,

(ii)    aob = ab — a — 6 + 2.

4.    Napisać tabelkę mnożenia modulo 5 w zbiorze Z5 = {1,2,3,4} oraz modulo 6 w zbiorze 1Ą = (1,2,3,4,5}. Czy struktury (Zj, -₅) i (Z|, -6) są grupami?

5.    Sprawdzić, że rodzina !P(X) wszystkich podzbiorów zbioru X tworzy grupę abelową względem działania -r zwanego różnicą symetryczną i określonego wzorem A -r B -(A\B)U(B\A).

6.    Czy zbiór Za jest podgrupą grupy Z<?

7.    Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Zs-

8.    Wykazać, że jeśli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona cykliczna.

9.    Wyznaczyć warstwy grupy Z9 względem jej podgrupy H — {0,3,6}.

10.    Dane są perrnutacje:

/l 2 3 4 5 6 7 8 9\    / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N

1,2 8 9 4 3 7 6 1 5] ’ ^ “ \3 4 5 8 7 1 9 6 2 j *

Obliczyć: a o £ , (oa, a~^l,    .

11.    Napisać tabelkę działania w grupie S3.

12.    Czy zbiór liczb rzeczywistych z działaniami a&b = a + b + 1, aQb = ab-a — b jest ciałem? Odpowiedzieć na to samo pytanie gdy a@6 = a + 6 + 5, aOb-ab — a-b + 2.

13.    Sprawdzić, że zbiór macierzy postaci ^    ^ ^, gdzie a, 6 € R, a ^ 0 jest ciałem

z dodawaniem i mnożeniem macierzy.

14.    Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych postaci 2~^lk, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą jest pierścieniem ze zwyczjnym dodawaniem i mnożeniem?

15.    wyznaczyć wszystkie podpierścienie pierścienia Zi₂.

16.    Wykazać, że zbiór I = {6x + 16y : x,y € Z} jest ideałem w Z. Znaleźć takie a 6 Z, że / = {Ara : k € Z}.

17.    Znaleźć a i b wiedząc, że:

a) NWD{a,b) = 12 i NWW{a,b) = 168, b) NWD(a,6) = 20 i NWW{a,b) = 385.

Ile jest rozwiązań?

18.    Podać rozwiązania ogólne następujących równań diofantycznych: a) 2x + 3y = 5; b) 2x 4- 3y = 4; c) 3x + 9y = 33.

19.    Wyznaczyć liczbę trzycyfrową, która jest 12 razy większa od sumy swoich cyfr.

20.    Uzasadnić, że równanie 7x³ = y³ + z³ - 3 = 0 nie ma rozwiązań w pierścieniu Z.

21. Rozwiązać następujące kongruencje:

a) 3x = 2 (mod 5); b) 6x + 3 = 4 (mod 10); c) 7x = 4 (mod 10).