Matematyka 2 9

28 I. (ieoiHt-iria malihv:na »v przestrzeni

zadania do rozwiązania.

1.    a) Jakie elementy wyznaczają płaszczyznę?

b)    Czy dwa różne punkty wyznaczają płaszczyznę?

c)    Czy punkt leżący na płaszczyźnie i wektor równoległy do płaszczyzny wyznaczają płaszczyznę?

2.    Napisać równanie płaszczyzny 7t przechodzącej przez punkt i równoległej do płaszczyzny 7t,, gdy:

a)    P„ (3,-2,1), rt,: 2x -2y-4z- 7 = 0,

b)    P„ = (0,0,0), Ti,: x r 3z 11 = 0,

c)    P₀ = (2,3,0), it, jest płaszczyzną Oxy.

d)    P₀ = (2,3,0), Tt, jest płaszczyzna Oxz.

3.    Napisać równanie płaszczyzny it przechodzącej przez punkty P,, \\ i prostopadłej do płaszczyzny tt,, gdy:

a)    P, = (6,2,1), P₂ = (3,-1,1), Tt,: x + 2y-z-6 = 0,

b)    P, =(-2,0,3), P₂ = (l.l,l), Tt,: 2x-3z-8 = 0,

e)    P, - (1,2,4), P_: =(-2,4,5), it, jest płaszczyzną0xy.

4.    Napisać równanie płaszczyzny it przechodzącej pr/c/ punkt P₍₎ i prostopadłej do płaszczyzn tt, i tt,, gdy:

a)    P_y - (3,-2,1), tt,: 2x-2y-4z-7 = 0, tt,: x + y - 3/. I = 0,

b)    P₀ = (0,0,0), rt,: x + 3z-11 = 0, tt,: x + 2y-3z -0;

c)    P₀ = (1,3,4), tt,: x-z-3 = 0, 7t₂ jest płaszczyzną ()xy,

d)    P_fl = ( 1,3,4), rc, jest płaszczyzną ()xy, tt-, - płaszczyzną 0xz.

5.    Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (4,5,6) oraz prostopadłej do: a) osi 0x, b) osi Oy, c) osi Oz.

6.    Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (3,-1,2) i zawierającej: a) oś ()x, b) oś Oy.

7.    Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty (1,2,3) i (-1,3,4) oraz równoległej do: a) osi 0x, b) osi Oz.

8.    Znaleźć punkty przecięcia płaszczyzny n z osiami układu współ rzędnych 0xyz, gdy:

b) 7t: 2x-y-3z = 0,

a) jt : 2x + y + 3z -6 = 0,

c) Ti: 2x + y-6*0,    d) rc: 2x + 3z-6 = 0.

9    Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P„P₂,P₃^:

n) P, =(5,2,1),    P₂= (0,3,4), P, = (5,6,7),

b)    P,-(0,0,-12), P,-(2,-2,-5), P,- (4,0,-6),

c) P, »(4,4,3),    P_: =(0.6,0), P, ■ (8.1,6).

10    Znaleźć wartości parametru k, dla których płaszczyzny 71, i tc₂ są równoległe, gdy:

a)    7C|: 2x + ky + z^6-0, n₂: kx+2y+(k-l)z+3 = 0,

b)    tt,: x +(k + l)y-t-6z + I = 0, jt₂: (k -t- l)x+4ky-(l l + k²)z = 0.

11    Dla jakich wartości parametru k płaszczyzny jt, i n_? z zadania 10 są prostopadłe? ^s

12.    Sprawdzić, że płaszczyzny ir, i rr₂ są równoległe, a następnie obliczyć odległość d tych płaszczyzn, gdy:

a)    7i,: 6x-3y + 6z + 5 = 0, tt,: 4x - 2y-i 4z-3 = 0,

b)    ttj: 6x-8z-l = 0, 7t₂: 9x-12z+48 = 0,

c)    7i,: 2x-4y- 6z-2 = 0, Tr₂: 3x-6y-9z-3 = 0.

13.    Napisać równanie płaszczyzny n zawierającej krawędź przecięcia płaszczyzn ti, i 7t₂ i przechodzącej przez punkt P, gdy:

a)    7t,: 2x-3y-z-8 = 0, n_:: x-y-3z-6-0, )’*(1*0,2),

b)    ti,: x-37,“6 = 0, k₂: x + y-z-6-0, P — (1,2,3),

c)    Tt,: x+y-2z*0, tt₂: y+2z-8*0,    P«(0,2,l),

d)    7t,: 2x + 2y + z-2 = 0, tt₂: 3x - y - z - 2 = 0, P = (l,-1,2).

14.    Napisać równanie płaszczyzny tt zawierającej krawędź przecięcia płaszczyzn tt, i rt₂ i prostopadłej do płaszczyzny n₃, gdy:

a) 7i,:x-y-3z-6=0, tt₂:2x-3y-z-8 = 0, n_a:x + y-6z-l2=0,

b)    ji,:2x-y-3 = 0, jr₂:3y + z-8 = 0, 7C₃:x + y-6z-l2 = 0,

c)    ju,:x + y-z-3*0, 7t₂:2x-y-3z-8 = 0, tt₁:2x-y+z-6=0 ,

d)    rt,:x + y-z-3*0, 7T₂:2x-y-3z-8 = 0, tt₃:4x-y+ 3z = 0 .