Matematyka 2 C1

430 VI. fflemrnty \luly.\tyki mutrmatycznfj

Niestety, podejmując w procesie weryfikacji decyzje d„ albo d_M. me wiemy, czy popełniliśmy błąd. Dlatego nasza kontrola błędów I i II rodzaju polega nie na leh eliminaeji. lecz na minimalizacji pr-stw popełnienia lego błędu. Przy dokładniejszej analizie okazuje sie jednak, że gdy liczność próbki jest ustalona, to nie jest możliwa minimalizacja pr-stw popełnienia każdego z tych blądów; przy tym kontrola pr-stw popełnienia błędu II rodzaju jest trudna. Konieczny tu wobec lego kompromis polega na I) kontroli pr-slw popełnieniu hlądu I rodzaju oraz 2) rezygnacji z kontroli pr-stw popełnienia błędu II rodzaju. W konsekwencji musimy wtedy rezygnować z podejmowania decyzji d,’, - przyjmowania hipotezy zerowej ll„.

Takie "niepełne" testy , w których rezygnuje się z podejmowania decyzji przyjmowaniu hipotezy zerowej, nazywa sie testami istotności Wtedy zamiast decyzji d„ ograniczamy się do stwierdzenia d„: "d a n a próbka nic przeczy hipotezie 11„" albo "mocniejszego” stwierdzenia "nic ma podstaw statystycznych do odrzucenia hipotezy! I ,"

Zauważmy, że w rezultacie stosowania testu istotności narażeni jesteśmy na popełnienie tylko błędu 1 rodzaju. Kontrola lego błędu polega nu kontroli pr-stwa popełnienia tego błędu 7. góry zadaną mulą liczbą a6(0,1) (zwykle a =0,05. a=(),0l) taką, ze pr-stwo popełnienia błądu I rodzaju nie przekracza tej liczby (6.1)    Pt błąd I rodzaju ) <a

nazywa s«ą poziomem istotności testu hipotezy H₀; litera I* w tej nierówności oznacza rozkład pr-stwa zadany hipoteza H„).

Test istotności hipotezy ll„ przeciwko hipotezie alternatywnej 11^ na poziomie istotności a zwykle przebiega według następujących trzech etapów.

DObierumy tzw statystykę testową T„ i obliczam y jej wartość t_nrmr dla danej próbki

2)    Przy założeniu prawdziwości hipotezy' zerowej H₀, wyznaczamy rozkład pr-stwa statystyki T_n.

3)    Postępowanie decyzyjne Z tablic rozkładu statystyki T_n odczytujemy kwantyl t ,gdzie p jest jedną z liczb: a. u/2. 1-a. l-a/2 Za pomocą tych kwiinlyli (przy weryfikacji hipotez nazywa sie je wartościami krytycznymi) budujemy tzw zbiór krytyczny K₀, mający następującą własność:

a)    jeśli i _!nnp < K_a. to na poziomie istotności a podejmujemy decyzję d_w: odrzucamy hipotezę H„

b)    gdy t_nXrtip *K_lt, to ograniczymy sie Jo stwierdzeniu d„: dana próbka nic przeczy hipotezie li na danym poziomic istotności a

Omówimy nieco dokładniej lo postępowanie.

Ad I. Statystyka testowa T winna spełniać m.in następujące wymagania: a) musi stanowić porównanie charakterystyki cechy X i odpowiedniej charakterystyki PLP. może to być np różnica X-p. gdy hipoteza H„ dotyczy wartości oczekiwanej p EX; b) winna uwzględnić informacje dotyczące cechy X znane jeszcze przed pobraniem próbki: cl musi być możliwe, przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀, wyznaczenie jej rozkładu pr-stwa dokładnego lub granicznego.

Ad 2. W tym wykładzie nie będziemy ( z jednym wyjątkiem) wyznaczać rozkładu statystyki testowej T„ - będziemy powoływać się na jej rozkład: będą to trzy rozkłady omówione w paragrafie l.

Ad 3 Warunek (6.1) można zapisać w postaci:

(6.2)    PfT.eKJH, jest prawdziwa)<u.

Zbiór krytyczny K_u testu hipotezy zerowej na danym poziomie istotności spełnia więc warunek: pr-stwa przyjęcia przez siaty slykę testowy w artości z tego zbioru, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, nic przekracza poziomu istotności (iv przypadku prostej hipotezy zerowej i rozkładu ciągłego jest mu równej

Zbiór krytyczny K„ spełniający warunek (6.2) można wybrać na wicie sposobów (bo ta sama liczba a może być pr-stwem wielu różnych zdarzeń). Powstaje wobec tego problem wyboru najlepszego z nich Powiemy. że zbiór krytyczny K, jest najlepszy, jeśli dla każdego innego zbioru krytycznego K'_(l

P(T_m€KJH₀ jest prawdziwa)£l^,(T„ elCJII, jest prawdziwa).

czyli, gdy najczęściej prowadzi do odrzuceniu hipotezy zerowej, gdy w rzeczywistości prawdziwa jest hipoteza alternatywna (a w ięc prow adzi do