mechanika1 (podrecznik)3

88

s = z Pui + Z P_iyj + Z P_izk

i = 1    i= 1    i=l

oraz momentu głównego

M° = Z mom._x P₍i + Z mom,PJ + Z mom.P;*:.

i = l    i = l    i-1

Rys. 2.84

Rys. 285

Na przykład wyznaczmy wektor główny i moment główny podanego przestrzennego układu sił (rys. 2.85), przy czym niech moduły sił są równe długościom odpowiednich krawędzi i przekątnych sześcianu o bokach a.

Składowe wektora wyrażą się następująco:

3

^SX = Z P* = ^a - a = 0,

i=l

S, = Z Piy

i= 1 3

S. = Z ^piz = a + « = 2fl,

i = l

a można go zapisać w postaci

S — aj + lak.

Moment główny układu jako suma wszystkich sił działających będzie dla omawianego przykładu równy

•    '    •    a

M° = M° + M°2 + M°.

Policzymy moment od każdej siły osobno. I tak od siły P: wyniesie on i j k

M% = r₃ x P₃ =

= a²i - a²_/ - a²k.

od siły P₂

od siły P₃

M? = r_lxP₁ =

M! = r,x?,=

i j k 0 0 a aa 0

i j k

aa 0 -a 0 a

= -a²i + a²j,

= a²i - a²j,

aa 0 -a 0 a

Moment główny układu będzie zatem równy

M° = a² i - a.²j - a² k.

Wektor główny układu S nie zależy jak wiemy, od obioru bieguna. Moment główny M° jest wektorem związanym z biegunem i zmienia się z jego zmianą, ale zauważmy, że rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego nie zależy od bieguna momentu. Wykażmy to:

Moment względem nowego bieguna (rys. 2.86) wedłg wzoru (2.10) wynosi:

M°* = M° + OO* x S.

Mnożąc powyższe równanie skalarowo przez S i pamiętając, że OO* x S jest prostopadły do 5, otrzymamy

M°* S = M° S,

czyli

|M°*| • |S| • cos(M°\ S) = |M°| • \S\ ■ cos(M°, S), a stąd po podzieleniu przez |S| mamy

| ^ (rzut na S j M |_rzut na S-

Stwierdzamy zatem, że wektor główny układu S i rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego są wielkościami stałymi dla danego układu sił tzw. niezmiennikami układu sił. Często zwie się je też pierwszym i drugim niezmiennikiem danego układu sił.