110
w której rt jest wektorem o początku-w punkcie 0, a końcu w punkcie zaczepienia i-tego wektora at. Względem innego dowolnie wybranego bieguna 0' moment wyraża się wzorem
M0' = M° + t (—r,0 x «.).
ł=l
Po wprowadzeniu wersora a° dla tego układu wektorów otrzymuje się M° = £ r; x a;a0 - f, r0 x a,a° =
t = l i = 1
x
1=1 \ 1=1
Niech punkt 0' będzie tak wybrany, że moment M° = 0. Obróćmy wektory
a1,____,an o dowolny kąt a, otrzymując układ nowych równoległych wektorów
a\,...,a'n, o modułach odpowiadających \vektorom av,.7.,an, (rys. 4.1). Dla tego układu wektorów, wersorem jest a0ir, a moment względem 0 jest teraz
rfaf. x a
Oa
i— i
Możemy znowu znaleźć biegun 0" taki, że moment liczony względem niego będzie się równał zeru, a więc
M°" = M° + Z (~rOa X fl'i) = ( Z riai~rOa Z “i) X a0a = 0.
1 = 1 \i= 1 i = l /
Zażądajmy, żeby punkty 0' i 0" pokrywały się przy obrocie wektorów o dowolny kąt a. Będzie wówczas spełniona relacja
r0 = roa
i przyrównanie M° do zera daje
^Ż riai ~ ro* Ż a^j x a°“ = 0.
Wersor nigdy nie jest wersorem zerowym, więc jeśli ostatnia zależność ma być spełniona dla dowolnego kąta obrotu wektorów, to wektor w nawiasie będący agregatem wektorów r0, r1,...,rn z współczynnikami niezależnymi od a, musi być równy zeru. Zatem
n n
i=l i= 1
Z airi
(4.1)
ro
i stąd
i = 1
Z««
Wektor r0 wyznacza tu jednoznacznie pewien punkt dla układu stałych wektorów równoległych, który nazywa się środkiem układu tych wektorów. Jeśli wektory r0 i r; wyrazimy w postaci analitycznej jako
ro = x0i + y0j + z0k oraz r, = xii + yj + z;fc,
to otrzymamy następujące wyrażenia określające położenie środka układu wektorów równoległych
ta ixl |
Z |
Ż aizi |
i = 1 |
v i = 1 |
1=1 |
TT » |
y o n ■ |
"0 - R |
. z«. |
Z»« | |
i = 1 |
i = 1 |
i- 1 |
W przypadku płaskiego Gkładu wektorów pozostają tylko dwie składowe x0, y0. Graficznie można znaleźć środek układu wektorów wykreślając, za pomocą wieloboku sznurowego, kierunek działania wypadkowej; powtarzając to dla układu wektorów obróconych, otrzymujemy kierunek działania drugiej wypadkowej. Na przecięciu kierunków działania wypadkowych leży szukany punkt A (rys. 4.2).