mechanika1 (podrecznik)3

130

130

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

(4.42)

i zwie się sekulamym. Po rozwinięciu go można zapisać

-2³ + AA² - BA - C = 0,

gdzie współczynniki A, B, C wyrażają się przez momenty bezwładności i dewiacji. Równanie (4.42) ma trzy rzeczywiste pierwiastki oznaczone przez I_t, I₂,1₃, które są wartościami głównych momentów bezwładności. Kierunki osi, względem których momenty przyjmują wartości główne I_L, I₂,1₃ znajdziemy, podstawiając kolejno do układu równań (4.41) znalezione wartości J_f (i = 1, 2, 3) i rozwiązując układ równań, pamiętając o konieczności spełnienia warunku (4.38), każde bowiem z równań jest liniowo zależne od dwóch pozostałych. Warunek (4.38) jest zatem dodatkowym równaniem. Jeżeli elipsoidę bezwładności (4.37) przetransformujemy do układu współrzędnych, pokrywającego się z głównymi kierunkami, to pamiętając, że momenty bezwładności dla "tych kierunków są J₁, I₂, J₃, otrzymamy elipsoidę zapisaną w. postaci

I₂x² + I₂y² + J₃z² = 1.

Będzie to zarazem oznaczać, że momenty dewiacji znikają w układzie współrzędnych pokrywających się z osiami głównymi (porównaj ze wzorem (4.37)). Tym samym wzór określający moment bezwładności względem dowolnej prostej w tym układzie osi głównych wyraża się prostszym wzorem

J, = I_t cos²a₀ + I₂cos²/?₀ -(-1₃cos²y₀,    (4-43)

gdzie a₀, /?₀, y₀ - są kątami, jakie tworzy oś l z osiami głównymi. Ponieważ znikanie momentów dewiacji w pewnym układzie współrzędnych jest warunkiem wystarczającym, by układ ten pokrywał się z układem osi głównych, więc można wykazać, że oś będzie osią główną, jeśli jest:

a)    osią symetrii ciała jednorodnego,

b)    osią prostopadłą do płaszczyzny symetrii ciała jednorodnego.

Rozpatrzmy przypadek figur płaskich (patrz rys. 4.17). Niech figura nasza leży

w płaszczyźnie xy. Ponieważ wszystkie punkty figury mają współrzędną z = 0, więc D_x: = D_yz = 0, zatem wyznacznik sekularny ma postać

Ix-X,		0		I -A -Z),..
~&xy .		0	= (W)	A, -Dxv	I-A
0,	0,	I.-A		xy	y

Widać stąd, żę I, = I₃ jest jednym z momentów głównych, a oś z-tów jest osią główną figury. Znajdźmy pozostałe momenty główne, rozwijające wyznacznik

--------(I_x^X)(I,-l)_rD²xy = 0,

a po wymnożeniu otrzymamy

X²-(I_x + I_y)X-(D²xy-I_xI_y) = 0, co jest równaniem kwadratowym, którego pierwiastki są:

I_x + I, ± J(I_x + I_y)² + HD;_y-I_xI_y)

*¹-² ~ ‘ 2 ’

a dalej

*1.» = h.2 =    -)^{2 +} D*-    (⁴⁴⁴)

Obie pozostałe osie główne leżą w płaszczyźnie xy, jako prostopadłej do osi głównej z. Wyprowadzając kąt cp, jak na rys. 4.17, znajdziemy wielkość tego kąta (p = cp₀, dla której moment bezwładności przyjmuje wartości ekstremalne. Pamiętamy, że dla y = 90°, a = cp, /J = 90 - (p wartość momentu bezwładności zgodnie z (4.34) równa się

1 = I_xcos²(p + I_ysin²(p - 2D_xysin(pcos(p, stąd licząc ekstremum

-2/_xcos cp₀ sin cp₀ -j- 21 _y sin cp₀ cos <p₀

2D_xy cos 2 (p₀ = 0

otrzymamy wartość kąta cp₀

tg2ę>₀

(4.45)

Rys. 4.19