mechanika1 (podrecznik)2

128

Po podstawieniu powyższych zależności do (4.33) otrzymamy

I_xx² + I_yy² + I-z² - 2D_xy ■ xy - 2D_yl ■ yz - 2D_xz ■ xz = 1    (4.37)

Z teorii form kwadratowych wiadomo, że rówmanie (4.37) przedstawia elipsoidę trójosiową, jeśli tylko I_x, l_y, I. są dodatnie. Elipsoida ta nazywa się elipsoidą bezwładności. Jest ona miejscem geometrycznym punktów, których odległość od jej środka jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez dany punkt i środek elipsoidy.

Trójosiową elipsoida ma układ trzech średnic sprzężonych i wzajemnie do siebie prostopadłych, z których jedna jest największa ze wszystkich średnic, a jedna najmniejsza. W szczególnych przypadkach niektóre średnice mogą być jednakowe, tworząc wówczas elipsoidę obrotową. Osie, na których leżą średnice sprzężone są osiami symetrii dla elipsoidy i zwą się osiami głównymi. Odpowiadające im momenty bezwładności są tzw. momentami głównymi bezwładności. Jeśli punkt O pokrywa się ze środkiem masy układu punktów materialnych, to mówimy, że odpowiadająca mu elipsoida jest centralną elipsoidą bezwładności, główne osie są centralnymi, a odpowiadające tym osiom momenty bezwładności są głównymi centralnymi momentami bezwładności.

Znajdźmy ekstrema funkcji /„ odpowiadające głównym momentom bezwładności. W tym cdi u zastosujemy metodę mnożników Lagrange’a.

Badaną funkcją jest J, = /.(a, /?, y). Dodatkowym warunkiem (warunków takich musi być jednak mniej niż niewiadomych) jest związek

(4.38)

/(a, /J, y) = cos²a + cos²fi + cos²y -1 = 0.

Jest to tzw. równanie więzów.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji 7, przy ograniczeniu (4.38) jest zerowanie się wyrażeń

(4.39)

8<P _ 8<P _ 8<P da dp dy

gdzie

<P(a, fi, y) = 7,(a, fi, y) - A/(a, P, y).    (4.40)

Parametr A nazywa się mnożnikiem Lagrange’a i jest wielkością stalą. Parametr ten, a także niewiadome a„ /?„ y„ przy których 7, osiąga 'ekstremum, wyznaczamy z równań (4.38) i (4.39). Zatem

<P = I_x cos²a + I_y cos²p + I. cos²y - 2 D_xy cos a cos P +

- 27)^ cos P cos y - 2D_zxcosy cos a +

+ A(cos²a + cos²/? + cos²y - 1).

Ponieważ w wyrażeniu określającym zależność <P kąty wchodzą wyłącznie poprzez ich kosinusy, więc badajmy ekstrema nie względem kątów, a względem ich kosinusów. Po wstawieniu tej wartości do (4.39) otrzymujemy

dtp

8 cos a 8<P

8 cos P 8<P

dc osy

czyli

= 27_xcosa - 2D_xycosP - 2D._xcosy — 2 A cos a = 0,

= 27^ cos p — 2D_yz cos y — 2D_xy cos ot — 2 A cos P = 0,

= 27. cos y - 2Dj_Xcosa - 2D_yzcosP - 2 A cos y = 0,

(7_X - A) cos a - cos P - D_x. cos y = 0,

-D^ cos.a + (I_y - A) cos P - D_yz cos y = 0,    (4.41)

-D_:xcosa - D_:ycosP + (I, - A)cosy = 0.

Wyznacznik główny tego równania musi się zerować, by równanie miało rozwiązanie niezerowe (zerowym rozwiązaniem jest cosa = cosP = cosy = 0). Wyznacznik ten ma postać

_ł I_x    Dxy ~D_XZ

7A _Xy, I_y A, Dys -D_xz, -D_yz, l_z -A

= 0