Obraz6 3

154

wartości (5.2) obliczamy średnią arytmetyczną x i traktujemy ją jako ocenę nieznanej wartości parametru m przyjmując, że x~m. Następnie obliczamy wariancję s². Takie postępowanie przyjęto nazywać estymacją punktową.

Obliczone wartości traktujemy jako realizacje stosownych zmiennych losowych. Takie podejście jest zasadne, gdyż wyniki obserwacji traktuje się jako realizację zmiennej losowej n-wymiarowej

(5.3)

której łączna dystrybuanta wyrażana jest wzorem:

F(xi, x₂,...,    ) = F(x_i) F(x₂ )... F(x_n).    (5.4)

Zmienną losową (5.3), której dystrybuanta łączna wyrażana jest wzorem (5.4), traktujemy jako model próby losowej prostej.

Estymator wartości średniej zbiorowości statystycznej zbudowany na podstawie zmiennej losowej (5.3) definiujemy za pomocą wzoru:

X=-fX    (5-5)

n /=]

Estymatorem wariancji jest zmienna losowa o postaci:

/    S^J=i£(X,-X)².    (5.6)

» ;=1

Estymator (5.6) jest estymatorem obciążonym wariancji. Estymator nieobciążo-ny wariancji definiujemy za pomocą wzoru:

'    .    ś²=-!-Ża,--x)².    (5.7)

n ~ i /=i

Możliwe jest także inne postępowanie przy szacowaniu parametrów m i cr zbiorowości generalnej na podstawie próby (5.2). Szacując np. parametr m, ustalamy dwie liczby x_d oraz x , które traktujemy jako współrzędne przedziału

pokrywającego nieznaną wartość parametru. Taki sposób postępowania przyjęto nazywać estymacją przedziałową.

5.2. Przedział ufności dla wartości średniej

Sposób budowy przedziału ufności dla wartości średniej zależy między innymi od tego, czy znana nam jest wariancja. Z tego względu rozważymy dwa przypadki.

Przedział ufności dla średniej, gdy znana jest wariancja

Aby zbudować przedział ufności dla wartości średniej zbiorowości, czyli m, należy ustalić współczynnik ufności. Współczynnik ten jest miarą naszego przekonania, że przedział pokryje wartość średnią, co zapiszemy symbolicznie:

X_d<m<X_g.    (5.8)

Współrzędne końców przedziału są zmiennymi losowymi, które chcemy powiązać z estymatorem wartości średniej i współczynnikiem ufności, który oznaczymy symbolem (1 - a), gdzie a jest liczbą z przedziału (0, 1). Estymator X jest zmienną losową podlegającą rozkładowi normalnemu N(m,a/yfn). Następnie wykorzystamy zmienną losową standaryzowaną U, która podlega rozkładowi normalnemu N(0, 1), wprowadzając równanie:

P(-u_a<U<u_a) = 1-a.    (5.9)

W wyrażeniu (5.9) (1-a) jest prawdopodobieństwem tego, że zmienna losowa standaryzowana U przyjmie wartość z przedziału (~u_a; u_a). Wykorzystując relację między estymatorem średniej a zmienną standaryzowaną U zadaną wzorem:

(5.io)

G

nierówność pod znakiem prawdopodobieństwa w wyrażeniu (5.9) zapiszemy w postaci:

(5.11)

(5.12)

X — m /—

u_n <-•yjn <u_n.

Rozwiązując nierówność (5.11) względem m, znajdujemy:

— g    — a

X - u_a —j= <m<X + u_a —;=■

yjn    yjn

Otrzymaliśmy więc, że dolna granica przedziału ufności dla średniej jest zmienną losową definiowaną wzorem: