Obraz7 3

156

X

d

= X-u_a

zaś górna granica tego przedziału to następująca zmienna losowa:

X, =X+u_a~^=.

Vn

Stąd przedział ufności dla wartości średniej związany z zadanym współczynnikiem ufności ma postać:

(X-u_a-^=\ X+u_a~>    (5.13)

lub krócej

(X_d;X_g).

Długość przedziału ufności przy zadanym współczynniku ufności zależy od liczebności próby, czyli n (liczby składowych w modelu próby losowej prostej). Traktuje się go jako miarę precyzji oszacowania. W naszym przypadku mamy:

2 d = 2 u_a

Wielkość definiowaną za pomocą wzoru:

•    "    , a

^{d = u} a~r

•;

przyjęto nazywać błędem szacunku. Z przytoczonych wyrażeń wynika, że wybierając błąd szacunku (połowa długości przedziału ufności) możemy ustalić niezbędną liczebność próby. W tym przypadku dla ustalonego d otrzymujemy następującą konieczną liczebność próby:

2 _2 u „o

+ 1.

(5.14)

Przykład 5.1

Na pewnym automacie produkowana jest czekolada w tabliczkach. Waga tabliczki czekolady produkowanej na sprawnym automacie jest zmienną losową podlegającą rozkładowi normalnemu 7V(200, 2). Średnia waga tabliczki jest równa 200 g, zaś zróżnicowanie w wadze poszczególnych tabliczek, wynikające z działania czynników losowych, jest równe 2 g. Z hurtowni napływają do przedsiębiorstwa informacje, że średnia waga dostarczanych tabliczek nie jest równa 200 g. Oznacza to, że waga produkowanych na tym automacie tabliczek czekolady jest zmienną losową podlegającą rozkładowi normalnemu o innej średniej, lecz nie wiadomo jakiej, czyli rozkładowi N(m, 2), co wskazywać będzie, że automat się rozregulował. Zbudować przedział ufności dla średniej wagi tabliczek czekolady.

Aby oszacować średnią wagę produkowanych na tym automacie tabliczek czekolady, pobrano w sposób losowy 10 tabliczek. Każdą tabliczkę zważono i otrzymano następujące dane w gramach:

199, 198, 200, 197, 198, 195, 196, 198, 194, 195.

Na podstawie powyższych wielkości obliczono realizację estymatora średniej, czyli średnią wagę tabliczki czekolady dla 10 losowo wybranych tabliczek. Dla rozważanej próby średnia ta wynosi 1 = 197 g. Ponieważ jest to zdarzenie losowe, więc trudno na jego podstawie wnioskować o tym, czy automat jest rozregulowany.

Przyjmując współczynnik ufności (1-a) = 0,95 zbudować przedział ufności dla średniej wagi tabliczek czekolady (oszacować metodą przedziałową tę średnią) na podstawie uzyskanej próby. Najpierw w tablicach rozkładu normalnego znajdujemy wartość odpowiadającą przyjętemu współczynnikowi ufności, która wynosi «₀,05 = 1,96. Wykorzystując tę wartość oraz poprzednie informacje znajdujemy współrzędne końców przedziału ufności, które są równe:

- współrzędna punktu początkowego przedziału ma wartość:

_    _    a    2

VTó

x_d =x-u_0Q5 —j= = 197 -1,96 ■ —p=r = 195,8,

- współrzędna punktu końcowego przedziału jest równa:

s

= x + u

0,05

= 197 +1,96 • ■yjn

2

VIÓ

198,2.

Otrzymaliśmy następujący przedział liczbowy (195,8; 198,2). Ponieważ przypisaliśmy temu przedziałowi wysoki współczynnik ufności, więc można przyjąć, że zrealizowało się zdarzenie wysoce prawdopodobne. Oznacza to, że istnieją podstawy, aby stwierdzić, że automat produkujący czekolady rozregulował się, gdyż ustalony przedział ufności nie obejmuje wagi 200 g, przyjętej jako podstawa rozliczenia między konsumentem a producentem.

Możemy z kolei zadać pytanie, czy liczebność próby równa 10 przy budowie przedziału ufności dla średniej wagi tabliczki czekolady jest wystarczająca, jeśli