Obraz 0 3

182

H₀: o² = o²0

H\. o²> gI    (6.17)

W celu zweryfikowania hipotezy zerowej z populacji pobieramy w sposób losowy próbę o liczności n, a następnie ustalamy poziom istotności a.

Jeśli dysponujemy małą próbą (n < 30), wówczas w charakterze sprawdzianu hipotezy wybieramy statystykę definiowaną wzorem:

(6.18)

która podlega rozkładowi chi-kwadrat o (n-1) stopniach swobody. Następnie wykorzystując hipotezę alternatywną oraz zadany poziom istotności i ustaloną liczbę stopni swobody, budujemy obszar krytyczny, korzystając z relacji:

P(X² >Xa) = a-

Odczytując odpowiednią wielkość z tablicy rozkładu chi-kwadrat, otrzymujemy następujący zbiór krytyczny:

Z_k=(X²a,°o).    (6.19)

Gdy obliczona na podstawie próby wartość empiryczna statystyki (6.18) znajdzie się w zbiorze krytycznym, hipotezę zerową na przyjętym poziomie istotności odrzucamy •'na korzyść hipotezy alternatywnej. W przypadku przeciwnym stwierdzamy, żę.na przyjętym poziomie istotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

W przypadku gdy dysponujemy dużą próbą (n > 50), w charakterze sprawdzianu wybieramy statystykę definiowaną za pomocą wzoru:

2—--V2n-3,    (6.20)

której rozkład dąży do rozkładu normalnego N(0, 1).

W takiej sytuacji przy zadanym poziomie istotności oraz tak sformułowanej hipotezie alternatywnej zbiór krytyczny budujemy, wychodząc z relacji ^(uo) = = 1 - a. Otrzymujemy prawostronny zbiór krytyczny, który zapiszemy następująco:

Z_k = («_a, °°).

Przykład 6.4

Na podstawie danych z przykładu 6.2 zweryfikować hipotezę, że wariancja wieku kuracjuszy w lipcu w 2000 r. leczonych w sanatoriach województwa małopolskiego jest równa 300, przyjmując poziom istotności a = 0,1.

Układ hipotez zapiszemy następująco:

Ho' o² = 300,

H_x: o² >300.

Ponieważ próba jest duża, więc w charakterze sprawdzianu hipotezy wykorzystujemy zmienną losową (6.20). W tym przypadku zbiór krytyczny przy zadanym poziomie istotności i określonej hipotezie alternatywnej jest równy:

£ = <1,28; "O.

Obliczona na podstawie próby empiryczna wartość sprawdzianu jest równa: u_emp = 737,6304 - TiT = 0,5665.

Ponieważ obliczona empiryczna wartość sprawdzianu nie należy do zbioru krytycznego, więc stwierdzamy, że na przyjętym poziomie istotności a = 0,1 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że wariancja wieku kuracjuszy jest równa 300.

Przykład 6.5

Na podstawie danych z przykładu 6.3 zweryfikować hipotezę, że wariancja wieku kuracjuszy w lipcu w 2000 r. leczonych w sanatoriach województwa dolnośląskiego jest równa 300, przyjmując poziom istotności a = 0,1. Układ hipotez zapiszemy następująco:

Ho. o² = 300,

H_x: o² >300.

Ponieważ próba, którą w tym przypadku dysponujemy, jest mała, więc w charakterze sprawdzianu wykorzystamy zmienną losową (6.18), która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej podlega rozkładowi chi-kwadrat o (n-1) stopniach swobody. Wykorzystując przyjęty poziom istotności i hipotezę alternatywną, odczytujemy z tablic rozkładu zmiennej losowej chi-kwadrat odpowiednią wartość, otrzymując następujący zbiór krytyczny:

Z_k = <23,542;«,).