Obraz 2 3

186

6.4. Weryfikacja hipotezy o równości parametrów dwóch populacji

Weryfikacja hipotezy o równości dwóch średnich

Przyjmijmy, że rozważamy strukturę dwóch zbiorowości statystycznych (populacji) pod względem cechy X. Do opisu struktury pierwszej z nich wykorzystamy rozkład normalny N(m_h ctO, zaś drugiej z nich rozkład normalny iV(m₂, a₂). Nie znamy ich wartości średnich i na podstawie próby dla przyjętego poziomu istotności ot chcemy zweryfikować hipotezę zerową, że wartości średnie obu zbiorowości są równe. Układ związanych z tą sytuacją hipotez zapiszemy następująco:

H₀: m] = m₂,

H_x: m_x±m₂.    (6.23)

Oznaczmy symbolem n\ liczebność próby losowej pobranej z pierwszej zbiorowości, zaś symbolem n₂ liczebność próby losowej pobranej z drugiej zbiorowości.

W charakterze sprawdzianu hipotezy H₀, gdy znane są wariancje w obu zbio-

1
	X, -X?
-
' c	I°f ^CT2
1 ^r	J—+ —
v;	V «1 ^n2

(6.24)

która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej podlega rozkładowi normalnemu N( 0, 1).

Biorąc pod uwagę powyższe informacje, budujemy w znany już sposób zbiór krytyczny.

Gdy nie znamy wariancji, ale wiadomo, że są one równe, czyli Oj = ct₂ = a, oraz próby nie są duże, praktycznie ni < 30 i n₂ < 30, w charakterze sprawdzianu wybieramy zmienną losową definiowaną następująco:

T=

n_tS j +n₂S₂

n, + n₂ - 2

1

--f-

\ⁿi «

(6.25)

i)

która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej podlega rozkładowi t-Studenta o (n,+n₂-2) stopniach swobody. Na podstawie powyższych informacji budujemy w znany już sposób zbiór krytyczny.

Jeśli nie znamy wariancji, lecz z każdej zbiorowości możemy wylosować próbę o dużej liczności (kilkadziesiąt elementów), wówczas wykorzystywany przy weryfikacji sprawdzian definiujemy wzorem:

który przy założeniu hipotezy zerowej podlega rozkładowi normalnemu N(0, 1). Na podstawie powyższych informacji w znany już sposób budujemy zbiór krytyczny.

Hipotezę zerową na przyjętym poziomie istotności odrzucamy, jeśli wartość empiryczna wykorzystywanego przy weryfikacji sprawdzianu należy do zbioru krytycznego. W przypadku przeciwnym stwierdzamy, że na przyjętym poziomie istotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Przykład 6.7

W pewnym województwie spośród uczniów ostatniej klasy szkoły podstawowej piszących egzamin kompetencji wylosowano 36 uczniów pochodzących ze wsi oraz 64 uczniów pochodzących z miasta. Okazało się, że średnie ocen egzaminów w tych grupach uczniów wynosiły odpowiednio 3,2 oraz 3,4, natomiast odchylenia standardowe 0,6 i 0,4. Czy można przyjąć, że średnia ocen w populacji uczniów pochodzących ze wsi jest równa średniej ocen w populacji uczniów pochodzących z miasta.

Dla ułatwienia dalszych obliczeń wprowadzimy następujące oznaczenia:

71] = 36,    772 = 64,

3cj = 3,2, x₂ = 3,4,

5i = 0,6, Si = 0,4

i zapiszmy układ hipotez:

Ho' 777] = 7772,

H\. ni\ =£ m₂.

Hipotezę Ho weryfikować będziemy opierając się na statystyce U danej w/.<> rem (6.26), ponieważ liczebności naszych prób są duże.

Uwzględniając hipotezę alternatywną oraz poziom istotności równy 0,0. zbiór krytyczny zapiszemy w postaci:

Z_k = (-oo; -2,33) u (2,33; °o).