Picture2

ponieważ po podstawieniu a + 1 = /, dx = dl:

[--dx = [—dl = ft~²dt = —- + c =---— + c .

•^,(x + l)“    ³ t^{2 3}    t    x +1

Funkcję wymierną    —, gdzie p² - 4ą>0, rozkładamy na ułamki

x + px + q

proste:

(6.20)

Bx + C

x~ + px + q x - a, x-x₂

przy czym: a² + px + q = (a- - a0(a - x₂).

Całkę funkcji typu (6.19) obliczamy stosując podstawienia: a-ai=/|,

v x₂ *= t₂.

f—r————dx — A| [—!—dx + A₂ f—-—dx =

" v* ** _L »-»v* _t_ /i    " X _ X    ~ * V _ y_

x + px + q

= Afj — dtf + A₂j—dt₂ - A, ln | r, | +A₂ ln 11₂ | +c = t\    t₂

= A, In | x -    | +A₂ ln | x - x₂ | + c.

x - X-,

(6.21)

Przykład 6.7

Aby obliczyć całkę J

a - 8

a" -a-6

dx, rozkładamy najpierw funkcję wymierną

a-8

A* - A - 6 A - 8

na ułamki proste. Ponieważ a² - a - 6 = (a - 3)(a + 2), więc:

A₇

a² -a-6 a + 2 a - 3

W celu wyznaczenia stałych A\ \A₂ mnożymy obie strony powyższej równości przez a" - a- 6 i przyrównujemy współczynniki przy a w tych samych potęgach.

x - % = (A\ + A₂)x - 3Ai + A₂ i stąd:

czyli: //i    2, /(₂ = -I.

Zatem:

[ / dx — f ——— i/.v + f—— c/x = 2 In | v 1 21 Im * ł| ł

¹ x* —x — 6 ^Jx + 2    ^J.v-3

Zadania

5. Obliczyć całki funkcji wymiernej:

a)

^J V - I

d) 1

s> I j) 1

X-\

X-l

3x² - 6x + 2

x²+l X³ + 3x

dx,

dx

O) j

16x²+l’ dx

b)

^J X + 1

i/\,

0    f —^—rZr.

^J 3x t 2

x² +1

X + 1

-)

X

1 +x⁽

dx, e) [ ^X dx, J V 4- I

4x² + 8x +13 x + 32

^r) b

16x² +25 2x + 4

dx,

^h> J

k) f

m) J

P) J

- dx,

f d\

l) f _a —

³ 9v‘ 1 12 v t 4

dx

9x² + 25 ’

x² +16

dx,

6x - 3

3x² -12x + 13

d\ ,

r dx ^] ^x²+4x75

n)

^J x² +16

x~ +2x + \

dx, s) J    —-—dx,

, r 6x³ +2x + V3 ,    . r

u) ---dx, w) I-

^J 3x² +1

x² - 3x + 2 cosx

q)

<> j

f/v

x" + 4x + 4 -2x

x² + 12x + 35

th

sin² x-6sinx + 12

z) J

e^2x + 3x + 2

dx, ż) J —

2x

x~ + 2x + 3

dx,

dx, y) \

^ź) 1

1 +e

2x

dx,

x" +4x- 5

- dx .