Picture7

dukcji. wynikającej z zatrudnienia dodatkowo jednego wykwalifikowanego ro hutnika, jeżeli liczba niewykwalillkowanych robotników nie ulegnie zmianie.

Pochodna cząstkowa Q_x'(x,y) 1200 f 2.vv 3.v oznacza stopień zmiatn produkcji ze względu na liczbę wykwalifikowanych robotników. Dla każdej wartości \ i y jest to przybliżona ilość dodatkowych jednostek wyprodtikowa nych tygodniowo, jeżeli liczba wykwalifikowanych robotników zwiększy się w tym czasie z ,v do _v + I, przy czym liczba niewykwalifikowanych robotników jest stała. W szczególności, jeśli siła robocza zostanie zwiększona z 30 wykwalifikowanych i 60 niewykwalifikowanych do 31 wykwalifikowanych i 60 niewykwalifikowanych robotników, zmiana wielkości produkcji jest w przybliżeniu równa (9/(30, 60) = 2100 jednostek. Zatem produkt krańcowy przy stałej liczbie robotników niewykwalifikowanych wynosi 2100 jednostek.

Zadania

N. W pewnym przedsiębiorstwie dzienna produkcja opisywana jest funkcją:

(A v, y) 60k²/³ jednostek, gdzie k oznacza wielkość kapitału zainwestowanego mierzonego w zł, / - wielkość siły roboczej mierzoną w roboczogodzinach. Przypuśćmy, że bieżący kapitał wynosi 900 zł, a dzienna liczba roboczogodzin 1000. Użyć analizy krańcowej do oszacowania efektu zainwestowania dodatkowego I zl na dzienną produkcję, jeżeli siła robocza pozostaje nic zmieniona.

9,    Dzienny zysk sklepu ze sprzedaży dwóch rodzajów soków wynosi:

/’(.v, y) = (a- —30)(70 - 5* + 4y) + (y- 40)(80 + 6x - ly),

gdzie x - cena 1 puszki soku I rodzaju , jy-cena 1 puszki soku II rodzaju. Obecnie I rodzaj jest sprzedawany po 50 zł za puszkę, a drugi po 52 zł za puszkę. Użyć analizy krańcowej do oszacowania zmiany dziennego zysku, wynikającej / podniesienia ceny soku II rodzaju o 1 zł przy nie zmienionej cenie soku I rodzaju.

10.    Obliczyć i zinterpretować pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

a)    R[x,y) - y-J3x + 4y^: - dochód całkowity, jc₀ = 7 - wielkość produkcji towaru I, y₀ ⁼ 5 - wielkość produkcji towaru II;

b)    P(x,y) =    ^+xy+y - zysk całkowity, x₀ = 10 - liczba towarów zmaga

zynowanych,^ = 15 - wielkość produkcji;

i) M r, v) vln(l t ' ,) kos/l całkowity, v₍, Vo 25 - wielkość /.magazynowania.

50 wielkość produkt ji.

7.5. Różniczka zupełna i jej zastosowanie

IkTmicjn 7.5

Iloczyny f_x'(xo,yo)Ax oraz f_y'(xo, y₍₎) Ay nazywamy różniczkami t .uistkowymi funkcji r —f(x,y). Różniczką zupełną funkcji z = /(.v, y) w punkcie (v_(l, i„) dla przyrostów Ax i Ay nazywamy wyrażenie:

df(*0, .Vo) =fx'(x o, yn)Ax +f_y'(x₀, y₀)Ay.    (7 6)

1’onieważ:

df(xo, y₀) ~A*o + Ax, y₀ + Ay) -f(x₀, y₀),

różniczkę zupełną można wykorzystać do przybliżonego obliczania wartości funkcji. I tak:

f(x₀+Ax,y₀+Ay) « f(x₀,y₀) + df\x₀,y₀).    (7.7)

Wynik jest tym dokładniejszy, im przyrosty Ax i Ay są mniejsze.

Przykład 7.6

Obliczyć wartość przybliżoną wyrażenia 1,02°'’ .

Mamy tutaj do czynienia z funkcją f(x, y) = .v ' i poszukujemy /(1,02; 0.07) Ustalamy (jc₀,yo) = (1, 1), jest to punkt bliski (1,02; 0,97) i taki, w którym do kładnie potrafimy policzyć wartość funkcji. Znajdujemy kolejno:

X*₀,y₀) =/(l, 1) = 1¹ = 1, Ax = 0,02, Ay = -0,03, f_x'(x,y) =yx^y \

f_y'(x,y) = x>lnx, f'(x₀,y„) =//(!, 1) = 1, f_y'(x₀,y₀) =/(l, 1) = 1¹ In I 0.

Zatem:

df(x₀, y₀) = rf/1,1) = 1 • 0,02 + 0 • (-0,03) = 0,02.

Ostatecznie (wykorzystując wzór (7.7) ) mamy:

1,02°’⁹⁷ « 1 + 0,02 = 1,02.