Scan0011 3

RACHUNEK WEKTOROWY

KINEMATYKA

RACHUNEK WEKTOROWY

b = - i + k . Obliczyć:

—

1. Dane są dwa wektory: =3 i + 4 j + 5k,

a)    długość każdego wektora,

—> —>

b)    iloczyn skalarny a ■ b,

c)    kąt zawarty między wektorami,

—> —>

d)    iloczyn wektorowy a x b.

a) Długość wektora a =a_x i + a_y j + a_z k wyraża się zależnością

1->|    ~2    ?    2

O | = x +<ly +Gz •

Tak więc dla wektorów danych w zadaniu: a = 5 V 2 , b- .

b) Iloczyn skalamy wektorów ~a -a_x i +a_y j +a_z k oraz i = £>.* i +ó_v; +    ^

wyraża się zależnością: « • 6 - a_xb_x + dyby + cz-ój.Tak więc dla wektorów danych w zadaniu a • b —3 + 5-2.

c) Kąt zawarty między wektorami można wyznaczyć z zależności:

~a • b = cos Ki T, £

Tak więc dla wektorów danych w zadaniu:

_ ^C0S ’ ^b ' ⁼ ŚT^/F ^{= 0}'² '

Zakładając, że Z_| T, 6 |- mierzony w radianach - należy do przedziału otrzymujemy rozwiązanie b } =» 1.37.

d) Iloczyn wektorowy jest wektorem, który może zostać przedstawiony za pomocą symbolu wyznacznika w następujący sposób:

* J

a.x (iy a z

b_x b_v b_z

k

Tak więc dla wektorów danych w zadaniu:

-4; - 8    + 4k .

a x b

i j k 3 4 5 -1 0 1

Przypomnijmy, że wektor a x b jest zawsze prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory a i b , a zwrot jego jest wyznaczony przez tzw. regułę śruby prawoskrętnej wkręcanej od "o” do b .

2. Znaleźć wektor jednostkowy n, który jest prostopadły jednocześnie do wektora (3, 6.8) i do osi OX.

A

Kierunek osi OX określmy przez jednostkowy wektor x= (1,0,0) natomiast szukany wektor

A

n= (n_x,ny,n_z).

Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalamy wynosi zero. Tak

AA

więc z warunków zadania wynika, że równymi zeru są iloczyny skalarne n -x- Ooraz A_    A    A    ^A    AV 1/2

n-a= 0. Z kolei, ponieważ n jest wektorem jednostkowym, to | n ■. - ln • n\ « L

A

Stąd otrzymujemy układ równań na współrzędne wektora n

A A

n • x ~ n_x • 1 + n_y ■ 0 + n_z • 0 = n_x = 0,

^A -♦

n - a= 3n_x + 6ny +    - 0,

|«i²=    1.

Ą

7. drugiego równania (po podstawieniu n_x - Q) otrzymujemy, że n_v —~>h-Podstawiając otrzymany wynik do równania trzeciego mamy

?    9

a stąd    n_x - y?

Otrzymujemy dwa rozwiązania n_: - ±y , którym z kolei odpowiadają odpowiednio dwa

•    •    4    A

rozwiązania ny = -~. Ostatecznie otrzymujemy, że nasz wektor n jest postaci:

»2

lub

Jak widać otrzymaliśmy dwa rozwiązania (czego należało oczekiwać) w postaci dwóch wektorów mających taką samą długość lecz anty równoległe kierunki (przeciwne zwroty).

3. Udowodnić podane zależności rozkładając wektory na składowe:

a)    ~a • £ b x ~c j ~ ~c - x b ) - b • ("? x T),

b)    a x^b x c = b (o* * ~c') - "c • ó J.

a) Obliczmy najpierw iloczyn wektorowy b x c . Skorzystamy z tego, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów można zapisać w postaci wyznacznika:

77 7		by bz		bx bz	^ . Ox by
bx by bz CX Cy Cz		Cy Cz	i -	Cx Cz	) +1 Cx Cy

b x c -