ScanImage35

3. Całkowanie

70

(Symbol „arctg” oznacza funkcję odwrotną do funkcji tg: (—^7t, In) —> R). Znaleźć P'(x, y). Funkcja P nazywa się układem współrzędnych biegunowych na A.

(c) Niech C c A będzie obszarem zawartym między okręgami o promieniach r\ i r₂ oraz półprostymi przechodzącymi przez 0, które tworzą kąty 6\ i d₂ z osią x. Pokazać, że jeżeli h: C -*■ R jest całkowalna i h(x, y) = g(r(x, y), 9{x, y)), to

//

rg(r, 6) dOdr.

f„ =

C    r, 6,

Pokazać, że jeżeli B_r = {(*, y): x^{1 2} + y² < r²}, to

r 2tt

/*-// rg(r, 0) dPJr. oo

(d) Pokazać, że jeżeli C_r = [-r, r] x [-r, r], to

)

J e-^^2+yl)dxdy = 7i(l - _e-^r2

oraz

r

J e~(*^z+y2)dxdy = e~^xldxj .

Cr    -r i

(e) Dowieść, że

lim f e ^(x2+y2)dxdy = lim f e ⁽-^x2+y^dxdy

r-*oo J    r-+ oo J

B_r    C,

Całkowanie na łańcuchach

Przygotowanie algebraiczne

Jeżeli V jest przestrzenią wektorową (nad M), to k-krotny iloczyn V x ... x V będziemy oznaczali przez V^k. Funkcja T: V^k —> IR nazywa się wieloliniowa, jeżeli dla każdego i, gdzie 1 < i < k, mamy

T(v_lt... ,Vi +v-,... ,v_k) = T(v_u ... ,v_it... ,v_k) + T(v_u ... ,v-,..., v_k),

T(vi,...,avi, ...,v_k) = aT(vi,..., v_h..., v_k).

Funkcja wieloliniowa T: V* —> R nazywa się tensorem rzędu k (lub krótko k-tensorem) na V; zbiór wszystkich k-tensorów, oznaczany _a?^k(V), staje się przestrzenią wektorową (nad E), jeżeli dla S,T e _c/^k(V) oraz atl określimy

(5 + T)(v_u ...,v_k) = S(vi, ...,v_k) + T(v_u v_k),

(aS)(v i, ...,v_k)=a- S(v\,. ..,v_k).

Istnieje także działanie wiążące różne przestrzenie _c/^k(V). Niech S e _i,/^k(V) i T e wtedy iloczyn tensorowy S ®T e J?^k+l(V) definiujemy wzorem

(S <g» T)(v i.....v_k, v_k+u ...,v_k+i) = S(v i, ...,v_k)- T{v_k+u...,v_k+i).

Zauważmy, że kolejność czynników S i T jest tutaj istotna, ponieważ iloczyny S ®T i T ® S bynajmniej nie są równe. Wykazanie następujących własności ® pozostawia się czytelnikowi jako łatwe ćwiczenie:

(Sj + Ą) ® T = S\ ® T + Ą ® T,

S ® (7j + T2) = S <8> 7j + S <g> T2,

(aS) ®T = S® (aT) = a(S ® T),

(S <g> T) ® U = S <g> (T <8> U).

Zarówno (S ® T) ® U, jak i S ® (T ®U) oznacza się zwykle jako po prostu S ® T ®U\ podobnie definiuje się iloczyny wyższych rzędów 7j <g>... <g> T_r.

Czytelnik zauważył już prawdopodobnie, że JP^X(V) jest po prostu przestrzenią dualną V*. Działanie ® pozwala nam na wyrażenie pozostałych przestrzeni wektorowych J^rk(V) za pomocą przestrzeni _c/^rl (F).

1

wywnioskować stąd, że

OO

J e~^x dx = Vjt.

i'    —co

2

„Matematykiem jest ten, dla kogo to jest tak oczywiste jak dla innych dwa razy dwa równa się cztery. Liou^ille był matematykiem” — lord Kelvin.