ScanImage37

4. Całkowanie na łańcuchach

74

Alt(T)(vi,... ,Vj,... ,Vi.....v_k)' =

=    ^2 sgn cr ■ T(u_a(i),..., v_a(J),.... i>_a(i),. ■., v_a(kj) =

‘ cre5_t

— ~ ^ ^ sgn a • 7’(n_CT'(i),...,    ...,    <(y), ■ ■ ■, u_CT'(£)) =

= JT\ XI " ^sS^no'^/' ^T(^vo'W’ ■ ■ ’ *W)) =

*' <r'eS₍

= — Alt(r)(l)i, ...,V_k).

(2)    Jeśli n> e J2*(V) i cr = (i, ;), to w{v_aW,..., v_a(k)) = sgncr • co( v_u • - ■, v_k). Ponieważ każda a jest iloczynem permutacji postaci (i, j), więc równanie to zachodzi dla wszystkich cr. Dlatego

Alt(tt))(ui, -.., v_k) - ~ ^ sgncr • 0V(i),..., v_a(k)) = ^k' aeS_k

=    ^ Sgncr • sgncr • co(vi, ...,v_k)= co(vi,v_k).

<r.^€S‘

(3)    Wynika natychmiast z (1) i (2). ■

}

Aby znaleźć wymiar przestrzeni J2*(P), chciałoby^się mieć twierdzenie podobne do twierdzenia 4.1. Oczywiście, jeżeli co e Q^k(V) i rj e Q^l(V), to co® rj zazwyczaj nie należy do Q^kĄl(V). Dlatego określimy nowe działanie — iloczyn zewnętrzny to a 77 e £2^k+l(V) jako

(k + l)\

co Ar]- —    - Alt (co ® 77).

k\l\

(Przyczyna pojawienia się tego dziwnego współczynnika wyjaśni się później). Wykazanie następujących własności iloczynu pozostawia się czytelnikowi jako łatwe ćwiczenie:

i

(CO\ + CO2) A 7] ~ COl A T] + C0₂ A T],

] co A (771 + r}₂) = co A t]i + co A r)2, aco A r] = co A arj — a(co A 77), co Ar] = (—1 )^klr] A co, f*(Q) A tj) = f*(co) A /*(??).

Zachodzi także łączność iloczynu zewnętrznego: (co At]) A 9 = co A (77 A 6), ale jest to trudniejsze do wykazania.

4.4. TWIERDZENIE. (1) Jeżeli S e ^(P) i T e ,/'(V) oraz Alt(S) = 0, to Alt (5 <g> D = Alt(r 0S)=O.

Przygotowanie algebraiczne i j --------™~-j 75 |

(2)    Alt (Alt(a) 0 y) ® &) = Alt(<u ® r) 0 0) = Alt (co 0 Alt(// <g> 0)).

(3)    Jeżeli co e Q^k(V), jj 6 Q^l(V) i 9 e S2^m(V), to

(co A Tj) A 9 — CO A (t] A 8) =

(k + Z + m)\ k\l\m\

Alt(w 0 rj 0 9).

Dowód. (1) (k + l)\Alt(S 0T)(vi,, Vk+i) —

⁼ 'y , sgn cr •    .. -, Vo(k)) • T(v_a(k+ i)i • • • i ^(jt+j)).

CT65fc_+I

Jeżeli G c £*+/ składa się ze wszystkich a pozostawiających k + l,... ,k + l na swoich miejscach, to

r, ^sg^n<J ' 5(n_ff(i),..., v_CT(t)) • ZCu^+i),..., v_a(k+i)) —

aeG

• T(Ufc+i, ..., u*_+/) = 0.

Przypuśćmy teraz, że ero & G. Niech G o₀ = {cr • a₀: u € G} i n_CTo(1), ..., v_ao^+i) — wi,..., Wk+i■ Wtedy

y ’ Sgn (J - S(v_a(1), . . . , V_a(k)) ' T(v_a(k+l), - • - ) Oc(Jc+l)) — aeG- oo

-[

sgn cr₀ • sgn o’

a'eG

S(u><r'(1), • • ■ , UV_W)]

Zauważmy, że G fi G ■ er₀ = 0- Rzeczywiście, jeżeli cr e G n G • cr₀, to ct = cr' ■ ctq dla pewnego er' e G i ero = er - (cr')^-1 e G, sprzeczność z założeniem. Postępujemy dalej w ten sposób, rozbijając Sk+i na podzbiory rozłączne; suma na każdym takim podzbiorze wynosi 0, tak więc suma na całym Sk+i jest 0. Równości Alt(Y 0 5) = 0 dowodzi się podobnie.

(2) Mamy

Alt (Alt(z7 <g> 0) — r] 0 0) = Alt(?7 0 0) — Alt(?7 0 0) = 0.

Stąd na mocy (1) mamy

0 = Alt(a> cg) [Alt(?j <g) 0) — z? Cg) 9]) =

= Alt (co 0 Alt(/7 0 9)) — Alt(cu 0 r] 0 0).

Drugiej równości dowodzi się podobnie.

(k l A tri)!    /    \

(3) (co A 77) A 0 =    ■    .    - Alt ((co AT]) 0 9) =

(k + l)lm\

(k +1 + m)\ (k + l)}ml

(k +1)\

kin

Alt (co 0 r] 0 8).

Drugiej równości dowodzi się podobnie.