ScanImage43

i i 4. Całkowanie na łańcuchach

; 86 f-.......................

Rys. 4.3

Ponieważ zbiór A jest gwiaździsty, więc możemy zdefiniować

,    i

Ia>{x) =    f ......i_l(tx)d.t\x^l° dx^h A ... A dx‘^a A ... A dx‘‘.

<-..<*/ Of=l    '

(Symbol nad dx‘° oznacza, że wyraz ten pomijamy). Dowód, że co = I (doj)+d(I oj)

jest drobiazgowym obliczeniem. Posługując się zadaniem 3.32, mamy

*

i i

d(Ico) — l    J ......i_l{tx)dt^jdx¹' A ... A dx^l> +

l n    ’

+    f t^lDj(co_iu*_l)(tx)dt'\x^,"dx^J A

i,<...</, «=i j=i    z

A dx¹' A ... A A ... A dx‘‘.

X

(wyjaśnić, dlaczego mamy czynnik t^l zamiast t^l~^l). Mamy także

n

dco = ^    .....i,) ■ dx^j A dx^u/\... A dx^l1.

i\<-<ii j = 1

Pola i formy

Działając funkcją I na (l + l)-formę dco, otrzymujemy

i

/ (dco) = X TA t ‘^{l D}j(°>i„...,i,)(^tx)dt)x^J dx‘^l A ... a dx‘'~

<1 <...<!( j = l ' q    z

~ XI    f ^tlDA^mh.....i,)(tx)dt\x‘°dx^JA

ii <-<ii j=l a=l    ' g    Z

A d*¹' A ... A d;c'« A ... A d*''. Przy dodawaniu potrójne sumy skracają się i otrzymujemy

i

d(Ico)

+ I(dco) = X M /    .....i,(tx)dt \dx" A ... a d;r" +

'

t^lx^jDj(Wi_l:...j_l)(tx)dt \dx^h A ... A d*"

⁺ E £(/■

= E(/

—    ;₍(f*)]df )dx^!| a ... a dx" =

dt

t^dx‘^l

— Y2 a>i_l".._ii_ldx‘' A ... A d*¹' = co.

Zadania

4.13.    (a) Pokazać, że jeżeli /: R" -> R^m i g: R^m —► W, to

(g ° /)* =g*°f* i (g° /)* = /* o g*.

(b) Pokazać, że jeżeli /, g: R" —> R, to d(f • g) = f ■ dg + g ■ df.

4.14.    Niech c będzie krzywą różniczkowalną w R", to znaczy funkcją różniczkowalną c: [0, 1] —> Rⁿ. Zdefiniujmy wektor styczny v do krzywej c w t jako

^c*{(^ei)t) —    ..., (c")^,(r))_c(^.

Pokazać, że jeżeli f: R" —> R"‘, to wektor styczny do / o c w / równy jest

4.15.    Niech /: R -»• R i określmy c: R -> R² jako c(r) = (/, /(O)- Pokazać, że punkt końcowy wektora stycznego do c w t leży na prostej stycznej do wykresu / w punkcie (r, /(0)-

4.16.    Niech c: [0, 1] —»• R" będzie taką krzywą, że |c(r)| = 1 dla wszystkich t. Pokazać, że wektor c(f)_c(o i wektor styczny do c w t są prostopadle.

4.17.    Niech /: R" —> R". Określmy pole wektorowe / jako f(p) = f(p)_P ^e R"-(a) Pokazać, że każde pole wektorowe F na R" jest równe polu / otrzymanemu za

pomocą pewnej funkcji /.