skan0010 2

5

120

131. a > |

3

132. 0 < a < -

133. 0 < a < -~ 7

2

135. 0<a< -

134. -1 < a < 1 136. a> |

3.2. Szeregi funkcyjne

Szereg postaci

00

wg/tm ₍    ■ (3.24)_:

n=l

nosi nazwę szeregu funkcyjnego. Zauważmy, że wyrazami tego szeregu są funkcje f_nr określone w pewnym zbiorze X. Mówimy, że szereg (3.2.1) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze X, jeżeli dla każdego e > 0 istnieje takie N, że dla każdego n> N oraz dla każdego x € X zachodzi nierówność:

k=l

gdzie S oznacza sumę tego szeregu .

Podamy teraz kryterium dotyczące zbieżności jednostajnej szeregów (3.2.1). Kryterium Weierstrassa. Jeżeli dla każdego x € X spełniona jest nierówność |/n(*&)| — ®n

oraz szereg liczbowy

OO

^2^an

n= 1

jest zbieżny, to szereg funkcyjny (3.2.1) jest zbieżny w zbiorze X jednostajnie i bezwzględnie. Szereg a_n nazywamy majorantą dla szeregu (3.2.1).

n=l

Tw. 1 (o całkowaniu szeregu funkcyjnego). Jeżeli szereg funkcyjny (3.2.1) o wyrazach ciągłych w przedziale [a, 6] jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny, to

m

Tw. 2 (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego). Jeżeli wyrazy f_n szereg$§3.iM mają ciągłe pochodne f'_n w przedziale [a, 6], szereg (3.2.1) jest zbieżny w przędlfl [a, 6] oraz szereg

00

mm ■

n=1

jest jednostajnie zbieżny w przedziale [a, 6], to

/*(^x)

.n=l

Wykazać jednostajną zbieżność szeregu

1 f* ^e~^n|a!|

*    , lad + n¹

/łi=i ^{1    1}

Rozwiązanie Zauważmy, że

_e-n\x\

|a;| + n¹

_e-n\x\    j

frs-~ < —=■ dla każdego x € R oraz n > 1.

|a;| + n1    n¹

o° ^

Ponieważ szereg ^ — jest zbieżny, więc na podstawie kryterium Weierstassa id

;■    ■ n=l    -.i--

reg z zadania 1 jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny dla

00

=    M <Q< 1.

n-1

1

Pokażemy prawdziwość wzoru

(3.2,2)

ZauwnAmy, At? nkmcoh \ a?^w Jost ssbloiny (nawal JttdnoNlaJnln) dla |/u| $ q • I, pl,yA |ii!ⁿ| p ^^,ł uiaft MWMug ty" jtjHli ttldnAny dla O » y % 1.