skan0021

(a)    Jeżeli r jest rzeczywistym pierwiastkiem jednokrotnym, to odpowiada mu caikj szczególna e^rx.

(b)    Jeżeli r jest rzeczywistym k-krotnym pierwiastkiem, to odpowiada mu k cald liniowo niezależnych postaci:

e^rx,xe^rx,x²e^rx, x^k~¹e^rx.

(c)    Jeżeli r = a+i/3 jest pojedynczym pierwiastkiem zespolonym, to również liczljl sprzężona f = ą—i/3 jest pierwiastkiem równania (2.7.3) i tej parze odpowiadali dwie całki szczególne:

e^ax cos (3x, e^ax sin /3x.

(d)    Jeżeli r = a + i/3 jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym, to również f jen k-rotnym pierwiastkiem i tej parze odpowiada 2k liniowo niezależnych cała szczególnych postaci:

, x^k 1e^aI cos/3x, , x^k~^le^ax sin /3x.

e^ax cos (3x, xe^ax cos f3x, e^ax sin fix, xe^ax sin /3x,

Jeżeli funkcje 2/1,2/2»• • • ,y_n są liniowo niezależnymi całkami szczególnymi róv| nania (2.7.2), to rozwiązanie ogólne tego równania ma postać:

lfo(*) = Ciyi(x) + Ciy₂(x) + • ■ • + C_ny_n(x), gdzie C_uC₂r'-,C_n są dowolnymi stałymi.

Całkę szczególną Y równania niejednorodnego (2.7.1) można wyznaczyć metocflj przewidywań lub uzmiennienia stałych. Wiemy już, jak stosować te metody dlj równania liniowego rzędu pierwszego.

Metodę przewidywań dla równania (2.7.1) można stosować, jeżeli funkcja / mj postać:

f{x) = e^ax[P_n(x) co80x + Q_m(x) sin/la:],    (2.7.41

gdzie P_n, Q_m oznaczają wielomiany odpowiednio stopnia n > 0 i m > 0. JeśH funkcja / jest dana wzorem jak wyżej, to całkę szczególną równania (2.7.1) szukamy w postaci:

Y (x) = x^ke^ax (5^(0:) cos px + Rp(x) sin Px],

gdzie 5_P, R_p są wielomianami stopnia p = max(n,m). Współczynnik k oznacza] krotność pierwiastka r = a + i/3 równania charakterystycznego (2.7.3), tzn. p = OM gdy r nie jest pierwiastkiem równania (2.7.3); p = 1, gdy r jest pojedynczymi pierwiastkiem równania (2.7.3); i odpowiednio p = s, gdy r jest s—krotnym piej wiastkiem. Stałe które należy wyznaczyć występują w wielomianach S_p i Rp.

Jeśli funkcja / ma postać inną niż ta wyżej, to wtedy stosujemy metodę uzmien-J nienia stałych. Jeżeli funkcje yi,y₂, • • • ,Vn liniowo niezależne oraz

Vo(x) = Ciyi(x) + C₂y₂(x) H-----H C_ny_n(x)

jiiiil, _rfl;|lu|i ©giną równania (2,7.2), to całki szczególnej równania (2.7.1) szukamy

i |Miiil,acl:

Y (®) ■ Li (x)yi (x) + L₂(x)v2(x) + • • ■ + L_n(x)y_n(x),

funkcje h\, /va, • • •, L_n wyznaczamy, rozwiązując układ równań:

(2.7.5)

L[ {x)yi (x) + L'₂{x)y₂{x) + • • • + L'Jx)y_n{x) = 0, ^i(®)»5(®) + ^a(®)»a(®) + ’ • • + L'_n{x)y'_n(x) = 0,

|«Ljmv. iż układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdyż dane funkcje i m 1,2, ■ • • ,n są liniowo niezależne. Jeżeli ra = 2, to układ (2.7.5) przyjmie ul. a postać:

L'\ (x)yi (x) + L₂(x)y₂(x) = 0, ^Li(x)y[(x) + L₂{x)y'₂{x) = f(x).

Wyznaczyć rozwiązania równań różniczkowych: l.y"-y = 0    2.%^,' + 2y'|iy = 0

3.2/'" + y" = 0    4. y" + y' - 2y = 2ęf

5. y" + 2y' + y = \fxe~^x

U (iiwiązania

|l fili to równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Itównnnlo charakterystyczne ma postać:

r³ - 1 = 0, więc T\ — — 1, r₂ = 1 są jego pierwiastkami.

Hhpl y | = c“®, y₂ = e® są całkami szczególnymi, a rozwiązanie ogólne naszego równania Jest dane wzorem:

y{x) = Cie~^x +C₂e^x. li PW w lutnio charakterystyczno ma postać:

8r* -I- 27* + 1 ■ 0,