Untitled Scanned 44

108

Twierdzeniami dowolnej teorii aksjomatycznej są bowiem zawsze wszystkie te i tylko te zdania (czy ogólniej: formuły zdaniowe) języka tej teorii, które wynikają z jej aksjomatów.

W określeniu powyższym kluczową rolę odgrywa pojęcie wynikania. Jest więc oczywiste, że jeśli chcemy naprawdę wiedzieć, czym są twierdzenia teorii aksjomatycznych, to musimy mieć precyzyjnie określone właśnie pojęcie wynikania. Stajemy zatem przed następującym pytaniem: co to znaczy, że jakieś zdanie (względnie formula zdaniowa) A wynika ze zbioru zdań (względnie formuł zdaniowych) XI Innymi słowy: w jakich okolicznościach można zasadnie stwierdzić, że zdanie A wynika ze zbioru zdań X i w jakich okolicznościach można zasadnie stwierdzić, żc zdanie A nic wynika ze zbioru zdań A'?

Pytania te pytania o precyzyjną definicję pojęcia wynikania formułują jedno z naczelnych zadań logiki.

W ścisłym związku z tym jednym zadaniem logiki pozostaje - a nawet wprost z niego wyrasta drugie, wcale nic mniej ważne zadanie tej nauki. Idzie mianowicie o to, że logika nic może poprzestać na podaniu zadowalającej definicji wynikania, ale powinna - o ile to tylko możliwe sformułować taki komplet formalnych reguł przekształcania formuł zdaniowych, że dla dowolnego zbioru zdań X i dla dowolnego zdania A, zdanie A powinno dać się otrzymać ze zdań należących do A' przez stosowanie owych reguł pod tym i tylko pod tym warunkiem, że A rzeczywiście wynika ze zbioru X. Innymi słowy, chodzi o skonstruowanie takiej formalnej maszynerii, która zastosowana do dowolnego zbioru zdań X produkowałaby wszystkie i tylko takie zdania, które wynikają z X.

Oba powyższe zadania zostały przez logikę pomyślnie rozwiązane. Precyzyjna definicja wynikania została sformułowana na terenie działu logiki zwanego semantyką albo teorią modeli, zaś wspomniana wyżej maszyneria reguł formalnych zawarta jest w tzw. rachunku predykatów. Elementy semantyki przedstawimy dopiero w rozdziale VIII; rachunek predykatów natomiast będzie wyłożony dość szczegółowa już w^r następnym rozdziale.

Jak widać z powyższych uw^rag, rachunek predykatów stanowi podstawowy system logiczny; jest to po prostu logika w węższym tego słowa znaczeniu. Z tego względu rachunek predykatów bywa też nazywany klasycznym rachunkiem logicznym.

Początki rachunku predykatów stworzył G. Frcge jeszcze w 1879 roku. Pełny aksjomatyczny system tego rachunku jest dziełem angielskiego matematyka i filozofa A.N. Whitehcada (1910).